Умножение изображений

Если , , то

. (1.17)

Можно показать, что функция является оригина­лом.

Используя преобразование Лапласа (1.1), можно записать

.

Область D интегрирования полученного двукратного интегра­ла определяется условиями (см. рис. 98). Изменяя порядок интегрирования и полагая , получим

.

Интеграл в правой части формулы (1.17) называется сверткой функции и и обозначается символом т.е. .

Можно убедиться (положив ), что свертывание обладает свой­ством переместительности, т. е.

.

Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е.

.

Пример 1.11. Найти оригинал функций и .

Решение: Так как , и ,

т.е.

Аналогично получаем

Следствие 1.2. Если и также является оригиналом, то

. (1.18)

Запишем произведение в виде

,

или

.

Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соот­ветствующих оригиналам () и . Поэтому на основании свойства умножения изображений и линейности можно записать

или .

Формула (1.18) называется формулой Дюамеля.

На основании свойства переместительности свертки формулу Дюамеля можно записать в виде

.

Формулу Дюамеля можно применять, для определения оригиналов по известным изображениям.

Пример 1.13. Найти оригинал, соответствующий изображению .

Решение: Так как и , ,

то на основании формулы Дюамеля (1.18) имеем:

.

Дата добавления: 2015-07-15