Формула Римана-Меллина

Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имею­щее вид

, (2.5)

где интеграл берется вдоль любой прямой .

При определенных условиях интеграл (33.5) вычисляется по формуле

.

Замечание. На практике отыскание функции-оригинала обычно прово­дят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изображения соот­ветствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, исполь­зовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Пример 2.2. Найти оригинал по его изображению .

Решение: Проще всего поступить так:

(использовали свойство линейности и формулы (1.5) и (1.6)).

Если же использовать теорему 2.2 разложения, то будем иметь: , , , корни знаменателя и и, согласно формуле (2.1),

Пример 2.3. Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано как .

Решение: Здесь , , , - простой корень знаменателя, - 3-кратный корень (m = 3). Исполь­зуя формулы (2.1) и (2.3), имеем:

,

т.е. .

Приведём другой способ нахождения . Разобьём дробь на сумму простейших дробей:

. Следовательно, .

Приведём другой способ нахождения . Представим как произведение , и так как

и , то, пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

Дата добавления: 2015-07-15