Собственные затухающие колебания системы с одной степенью свободы

В предыдущем вопросе мы рассмотрели движение линейных систем с одной степенью свободы без сопротивления движению. Такая идеализация полезна, но в реальных системах всегда есть сопротивление движению.

Рассмотрим собственные колебания линейной системы с одной степенью свободы, то есть

, где v – круговая частота собственных свободных колебаний

, где h – коэффициент затухания.

Математическая модель принимает вид:

Введем новую зависимую переменную:

Тогда

Подставим в наше уравнение:

при любом t, следовательно

Обозначим ,тогда .

Возможны три случая:

1. тогда периодические затухающие колебания.

Решение уже отыскивалось.

, а

Здесь частота собственных свободных затухающих колебаний.

А,В – постоянные интегрирования, находят из начальных условий.

В решении в скобках стоят периодические функции времени, следовательно, движение – колебательное, но перед скобкой находится множитель , так что амплитуды колебаний убывают во времени.

График такого движения имеет вид:

Такое движение является периодическим и называется затухающими колебаниями.

Понятие периода затухающих колебаний T₁ вводят для переменной z, то есть , или .

Частота затухающих колебаний

При

Исследуем скорость убывания амплитуд:

Для этого вычислим и - два момента времени отличаются на период.

Справка:

Найдем отношение первой амплитуды ко второй

Возьмем натуральный логарифм

логарифмический декремент затухания, это логарифм отношения предыдущей к последующей амплитуде колебаний.

Декремент характеризует быстроту затухания.

Чем выше тем быстрее идет затухание.

Иногда, вводят ещё одну динамическую характеристику добротность системы.

Оценим декремент затухания для

То есть при отношении частоты собственных свободных и затухающих колебаний практически равны, а последующая амплитуда колебаний практически в два раза меньше предыдущей. Таким образом вязкое трение существенно влияет на амплитуду колебаний и поэтому его нужно учитывать.

Дата добавления: 2015-07-15