Прямой ход метода Гаусса

Шаг 1. Если а ₁₁ = 0, то с помощью преобразования 1 добиваемся, чтобы на место этого элемента попал ненулевой элемент (при применении этого преобразования к столбцам матрицы исключением является последний столбец, он должен оставаться неподвижным). Если в матрице нет ненулевых элементов, то она имеет трапециевидную форму, и прямой ход завершен. Пусть (верхний индекс указывает на номер шага), умножим элемент первой строки на число и прибавим к соответствующим элементам i -й строки i = 2, 3,...., m. Числа подберем так, чтобы первые элементы в строках обратились в 0, т.е. . В результате получим матрицу, в которой в первом столбце под главной диагональю все элементы равны 0. Обозначим

полученную матрицу :

Шаг 2. Если , то с помощью преобразования 1 добиваемся, чтобы на место этого элемента попал ненулевой элемент матрицы. Если в этой матрице нет ненулевых элементов, то она имеет трапециевидную форму, и прямой ход завершен. Пусть , умножим элементы второй строки на число и прибавим к соответствующим элементам i -й строки i = 3, 4,..., m. Числа подберем так, чтобы вторые элементы в строках обратились в нули, т.е. :

В результате, получим матрицу, в которой во втором столбце под главной диагональю все элементы равны нулю.

Будем выполнять указанные преобразования до тех пор, пока матрица системы А не примет трапециевидную форму, пусть это произойдет на шаге r, т.е.

.

Этой матрице соответствует система уравнений, эквивалентная исходной (1.11), вида:

. (1.14)

Здесь неизвестные обозначены: y ₁, …, y_n, потому что при применении элементарного преобразования 1 к столбцам расширенной матрицы естественный порядок переменных х ₁, х ₂ …, х_n нарушается. Например, если в расширенной матрице поменяли местами столбцы с номерами k и р, то в системе на месте слагаемых с номерами неизвестных k будут слагаемые с номерами неизвестных р и наоборот, т.е. у_k = x_p и у_p = х_k. На этом прямой ход метода Гаусса заканчивается.

Дата добавления: 2015-07-15