Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Доказательство свойств определителей

Читайте также:
  1. II. Проверка гипотез для оценки свойств двух генеральных совокупностей
  2. II.7. Свойства усилительных элементов при различных способах
  3. III.1. Физические свойства и величины
  4. III.3. Влияние обратной связи на свойства усилителя.
  5. IV. Изучение технологических свойств глинистых пород
  6. IV. Изучение технологических свойств кремнистых пород
  7. IV. Изучение технологических свойств руд

Свойство 1°. По определению, если то тогда по формуле (1.3)

(1.8)

где – произвольная перестановка первых индексов. Число слагаемых в этом равенстве и равенстве (1.3) одинаково и равно n! (утверждение 1.1). Покажем, что они имеют одинаковые знаки. Переставим элементы в правой части равенства (1.8) так, чтобы первые индексы составили основную перестановку (1, 2,..., n). Пусть для этого потребовалось s транспозиций. При этом вторые индексы за те же s транспозиций из основной перестановки преобразуются в перестановку . Так как по утверждению 1.2 каждая транспозиция меняет знак, перестановки и будут одинаковой четности, следовательно слагаемые в формулах (1.3) и (1.8) имеют одинаковые знаки, т.е. det A = det .

Свойство 2°. Так как в каждом слагаемом в формуле (1.3) есть множитель из каждой строки, то все слагаемые равны 0 и det A тоже равен 0.

Свойство 3°. Пусть мы поменяли местами строки с номерами k и p, тогда в формуле (1.3) перестановки из вторых индексов (..., jk,..., jp,...) преобразуются в (..., jp,..., jk,...), т.е. получаются в результате транспозиции двух чисел. При этом, в соответствии с утверждением 1.2, четность каждой перестановки меняется, следовательно, меняется знак каждого слагаемого в формуле (1.3), значит, у определителя тоже меняется знак.

Свойство 4°. Пусть k -я и р -я строки матрицы А одинаковы и det A = а. Поменяем местами k -ю и р -ю строки этой матрицы. При этом матрица А не изменится, а определитель по свойству 3° изменит знак, т.е. det A = – а. Получили равенство а = – а, которое возможно лишь в том случае, когда а = 0, следовательно det A = 0.

Свойства 5°, 6°. Справедливость этих свойств следуетиз свойств конечных сумм:

Свойство 7°. Применяя к определителю матрицы

последовательно свойства 6°, 5°, 4°, получаем: det B = det A.

Свойство 8°. Рассмотрим матрицу А, у которой k -я и р -я строки одинаковы. По свойству 4° det A = 0, а по формуле (1.3) но , значит, следовательно,

Из свойства 1° следует, что все перечисленные свойства справедливы и для столбцов матрицы. В частности, справедливы формулы, аналогичные (1.6) и (1.7)

(1.9)

(1.10)


Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 138 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: ГЛОССАРИЙ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ | Определение и типы матриц | Утверждение 1.1 | Доказательство | Определители | Теорема 1.1 (Крамера) | Действия над матрицами | Ранг матрицы | Утверждение 1.4 | Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Свойства определителей| Системы линейных уравнений. Формулы Крамера

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.006 сек.)