Читайте также:
|
Пусть количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально, причем среднее квадратическое отклонение s этого распределения неизвестно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание с помощью доверительных интервалов.
Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную величину 
, которая имеет распределение Стьюдента с 
степенями свободы. В последнем выражении – 
– выборочное среднее, 
– исправленное среднее квадратическое отклонение, 
– объем выборки; возможные значения случайной величины T мы будем обозначать через t. Плотность распределения Стьюдента имеет вид:
,
где 
некоторая постоянная, выражающаяся через гамма–функции. Как видно, распределение Стьюдента определяется параметром n – объемом выборки (или, что то же самое – числом степеней свободы ) и не зависит от неизвестных параметров 
. Поскольку 
– четная функция от t, то вероятность выполнения неравенства 
определяется следующим образом:
.
Заменив неравенство в круглых скобках двойным неравенством, получим выражение для искомого доверительного интервала:
Итак, с помощью распределения Стьюдента найден доверительный интервал 
, покрывающий неизвестный параметр a с надежностью 
. По таблице распределения Стьюдента и заданным n и можно найти 
, и, используя найденные по выборке 
и 
, можно определить доверительный интервал.
Пример. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=16 найдены генеральное среднее 
и исправленное среднее квадратическое отклонение 
. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надежностью 0,95.
Решение. Найдем по таблице распределения Стьюдента, используя значения 
. Этот параметр оказывается равным 2,13. Найдем границы доверительного интервала:
.
То есть с надежностью 0,95 неизвестный параметр a заключен в доверительном интервале 
.
Можно показать, что при возрастании объема выборки n распределение Стьюдента стремится к нормальному. Поэтому практически при n>30 можно вместо него пользоваться нормальным распределением. При малых n это приводит к значительным ошибкам.
Дата добавления: 2015-07-15; просмотров: 143 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии | | | Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения s нормального распределения |