Задачи 1-10 8 страница

Построим математическую модель задачи. Для этого надо определить переменные задачи, целевую функцию и ограничения, которым удовлетворяют переменные. Обозначим через - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, которые предприятие планирует изготовить.

Целевая функция Z(x) будет выражать доход от продажи изделий, равный (ден. ед.). Этот доход подлежит максимизации.

Построим ограничения задачи, связанные с ограниченными запасами сырья. На производство изделий вида П₁ в количестве штук будет использовано ед. сырья первого вида, а на производство изделий вида П₂ в объеме штук будет затрачено ед. сырья первого вида, на производство изделий вида П₃ в объеме штук будет затрачено ед. сырья первого вида. Поскольку запас сырья первого вида равен 360 ед., то расход этого виды сырья на изготовление продукции трех видов не может превышать этой величины. Получили первое ограничение .

Аналогично получим ограничение, связанное с запасом сырья второго вида: .

Ограничение, связанное с запасом сырья третьего вида: .

Учитывая условия не отрицательности объемов выпуска продукции, окончательно получим следующую математическую модель задачи:

,

,

, , .

Итак, математически задача сводится к нахождению числовых значений х₁*, х₂*, х₃* переменных х₁, х₂, х₃, удовлетворяющих линейным нера­венствам и доставляющих максимум линейной функции.

Приведем задачу к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: , , .

,

,

,

Переменные , , - означают возможные остатки сырья.

Решим полученную задачу симплекс методом.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 360; 192; 180). Составим начальную симплекс таблицу:

Базис	План
-Z		-9	-10	-16

В Z-строке есть отрицательные элементы, поэтому делаем шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-16) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбец является разрешающим.

Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 24 стоит во второй строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
						-3/2
		3/4	1/2			1/8
		11/4	3/2			-3/8
-Z			-2

В Z-строке есть отрицательный элемент, поэтому делаем шаг симплекс метода. Отрицательный элемент (-2) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбец является разрешающим. Делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 8 стоит в первой строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
					1/9	-1/6
		1/4			-1/18	5/24
		5/4			-1/6	-1/8
-Z					2/9	5/3

В Z-строке нет отрицательных элементов. Получен оптимальный план (0; 8; 20; 0; 0; 96). Максимальная прибыль Z()=400.

Основными переменными являются: , и . Их значения =0, =8 и =20 показывают, что предприятию следует производить 8 штук изделий вида П₂ и 20 штук изделий вида П₃, изделия вида П₁ вообще не производить.

Дополнительные переменные =0, =0, =96 показывают, что останется 96 ед. сырья третьего вида, сырье первого и второго вида используется полностью.

№ 10

сырье	Продукция	Запасы сырья, ед
П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3
Цена, ден. ед.

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Пусть - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, которые предприятие планирует изготовить.

С учетом цены за каждое изделие предприятие получит прибыль от реализации выпущенной продукции: .

Поскольку запасы сырья ограничены, то переменные , , должны удовлетворять ограничениям.

На изготовление одного изделия вида П₁ затрачивается 4 ед. сырья Р₁, тогда на х₁ изделий сырья Р₁ понадобится . На изготовление одного изделия вида П₂ затрачивается 2 ед. сырья Р₁, тогда на х₂ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₃ затрачивается 1 ед. сырья Р₁ тогда на х₃ изделий сырья Р₁ понадобится ед. В распоряжении предприятия сырья Р₁ только 180 ед, то получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку Р₂ данной таблицы, получим второе ограничение по сырью Р₂:

Просматривая строку Р₃ данной таблицы, получим третье ограничение по сырью Р₃: .

Чтобы искомый план был реален, нужно наложить условие неотрицательности на объемы выпуска продукции.

Таким образом, экономико-математическая модель данной задачи примет вид:

,

,

,

, , .

Решим задачу симплекс методом. Приведем к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: , , .

,

,

,

Переменные , , - означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 180; 210; 244). Составим симплекс таблицу.

Базис	План
-F		-10	-14	-12

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-14) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбец является разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 90 стоит в первой строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
				1/2	1/2
				5/2	-1/2
		-3			-1
-F				-5

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-5) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбец является разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 16 стоит в третьей строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
		19/8			5/8		-1/8
		23/8			1/8		-5/8
		-3/4			-1/4		1/4
-F		57/4			23/4		5/4

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (0; 82; 16; 0; 80; 0).

Основные переменные =0, =82, =16 показывают, что предприятию следует изготовить 82 изделия вида П₂, 16 изделий вида П₃, изделия вида П₁ не изготавливать. Доход равен 1340 ден. ед.

Дополнительные переменные =0, =80, =0 показывают, что останется 80 ед. сырья Р₂, сырье первого и третьего вида используются полностью.

Дата добавления: 2015-07-14