Задачи 1-10 7 страница

Основные переменные =1, =1, =3 показывают, что предприятию следует изготовить 1 изделие вида П₁, 1 изделие вида П₂, 3 изделия вида П₃. Доход равен 54 ден. ед.

Дополнительные переменные =0, =0, =0 показывают, что все ресурсы будут израсходованы полностью.

№ 7

сырье	Продукция	Запасы сырья, ед
П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3
Цена, ден. ед.

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Допустим предприятие намерено изготовить - изделий вида П₁, - изделий вида П₂, - изделий вида П₃.

Учитывая цену каждого изделия предприятие получит прибыль от продажи выпущенных изделий: .

Но выпуск изделий ограничен запасы сырья, переменные , , должны удовлетворять ограничениям.

На изготовление одного изделия вида П₁ затрачивается 2 ед. сырья Р₁, тогда на х₁ изделий сырья Р₁ понадобится . На изготовление одного изделия вида П₂ затрачивается 1 ед. сырья Р₁, тогда на х₂ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₃ затрачивается 0 ед. сырья Р₁ тогда на х₃ изделий сырья Р₁ понадобится 0 ед. На предприятии имеется только 500 ед. сырья Р₁, имеем первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку Р₂ данной таблицы, получим второе ограничение по сырью Р₂:

Просматривая строку Р₃ данной таблицы, получим третье ограничение по сырью Р₃: .

Учтем, условие неотрицательности на переменные, так как выпуск изделий не может быть отрицательным.

Получена экономико-математическая модель задачи:

,

,

,

, , .

Решим задачу симплекс методом. Приведем к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: , , .

,

,

,

Переменные , , - означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 500; 550; 200).

Составим симплекс таблицу.

Базис	План
-F		-3	-4	-1

Просматриваем последнюю оценочную строку. В этой строке есть отрицательные элементы: -3, -4, -1. План не оптимален. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-4) показывает, что столбец - разрешающий. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 200 стоит в третьей строке и соответствует переменной - разрешающая строка. Заполним новую таблицу:

Базис	План
							-1
							-2	-
								-
-F		-3		-1

В последней оценочной строке снова есть отрицательные элементы. Полученный план не оптимален. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-3) показывает, что столбец является разрешающим. Наименьшее из симплекс – отношений, число 150 стоит в первой строке и соответствует переменной - разрешающая строка. Заполним новую таблицу:

Базис	План
					1/2		-1/2	-
							-2
								-
-F				-1	3/2		5/2

В последней оценочной строке снова есть отрицательные элементы. Полученный план не оптимален. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-1) показывает, что столбец является разрешающим. Наименьшее из симплекс – отношений, число 150 стоит во второй строке и соответствует переменной - разрешающая строка. Заполним новую таблицу:

Базис	План
					1/2		-1/2
							-2
-F					3/2		1/2

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (150; 200; 150; 0; 0; 0).

Основные переменные =150, =200, =150 показывают, что предприятию следует изготовить 150 изделие вида П₁, 200 изделие вида П₂, 150 изделия вида П₃. Доход равен 1400 ден. ед.

Дополнительные переменные =0, =0, =0 показывают, что все ресурсы будут израсходованы полностью.

№ 8

сырье	Продукция	Запасы сырья, ед
П1	П2	П3	П4
Р1 Р2 Р3	2,5	2,5		1,5
Цена, ден. ед.

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Пусть - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, - количество изделий вида П₄, которые предприятие планирует изготовить.

С учетом цены за каждое изделие предприятие получит прибыль от реализации выпущенной продукции: .

Поскольку запасы сырья ограничены, то переменные , , , должны удовлетворять ограничениям.

На изготовление одного изделия вида П₁ затрачивается 2,5 ед. сырья Р₁, тогда на х₁ изделий сырья Р₁ понадобится . На изготовление одного изделия вида П₂ затрачивается 2,5 ед. сырья Р₁, тогда на х₂ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₃ затрачивается 2 ед. сырья Р₁ тогда на х₃ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₄ затрачивается 1,5 ед. сырья Р₁ тогда на х₄ изделий сырья Р₁ понадобится ед.

В распоряжении предприятия сырья Р₁ только 100 ед, то получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку Р₂ данной таблицы, получим второе ограничение по сырью Р₂:

Просматривая строку Р₃ данной таблицы, получим третье ограничение по сырью Р₃: .

Чтобы искомый план был реален, нужно наложить условие неотрицательности на объемы выпуска продукции.

Таким образом, экономико-математическая модель данной задачи примет вид:

,

,

,

, , , .

Решим задачу симплекс методом. Приведем к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: , , .

,

,

,

Переменные , , - означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 0; 100; 260; 370). Составим симплекс таблицу.

Базис	План
		2,5	2,5		1,5
									92,5
-F		-40	-50	-100	-80

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-100) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбец является разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 50 стоит в первой строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
		5/4	5/4		3/4	1/2			66,6
		-1				-2
						-2			24,2
-F					-5

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-5) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбец является разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 20 стоит во второй строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
		3/2					-1/4
		-1/3	5/3			-2/3	1/3
		16/3	-29/3			8/3	-7/3
-F		250/3	250/3			140/3	5/3

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (0; 0; 35; 20; 0; 0; 30).

Основные переменные =0, =0, =35, =20 показывают, что предприятию следует изготовить 35 изделий вида П₃, 20 изделия вида П₄, изделия вида П₁ и П₂ не изготавливать. Доход равен 5100 ден. ед.

Дополнительные переменные =0, =0, =30 показывают, что останется 30 ед. сырья Р₃, сырье первого и второго вида используются полностью.

№ 9

сырье	Продукция	Запасы сырья, ед
П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3
Цена, ден. ед.

Решение.

Дата добавления: 2015-07-14