Задачи 1-10 2 страница

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты	Необходимое количество
П1	П2
белки
жиры
углеводы
Цена
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z= денежных единиц. Т. о. целевая функция z(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные , должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 4 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 23 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 92. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные , должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1		11,5
х2

2. .

х1
х2

3. .

х1
х2

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

Учтем, что , . Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (12; 11). Перпендикулярно вектору проводим прямую .

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямую до тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке В пересеклись две прямые: и . Следовательно, координаты точки В находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили В (4; 8)

Подставляя координаты точки В в уравнение функции цели, получим:

Z_min= .

Ответ: необходимо купить 4 ед. продукта П₁ и 8 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 136 ден. ед.

№ 15

=63, =147, =126, С₁=12, С₂=9, А= .

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты	Необходимое количество
П1	П2
белки
жиры
углеводы
Цена
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z= денежных единиц. Т. о. целевая функция z(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные , должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 9 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 3 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 63. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные , должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1
х2

2. .

х1
х2

3. .

х1
х2

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

Учтем, что , . Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (12; 9). Перпендикулярно вектору проводим прямую .

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямую до тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке В пересеклись две прямые: и . Следовательно, координаты точки В находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили В (4; 9)

Подставляя координаты точки В в уравнение функции цели, получим:

Z_min= .

Ответ: необходимо купить 4 ед. продукта П₁ и 9 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 129 ден. ед.

№ 16

=60, =24, =105, С₁=3, С₂=6, А= .

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты	Необходимое количество
П1	П2
белки
жиры
углеводы
Цена
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z= денежных единиц. Т. о. целевая функция z(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные , должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 3 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 14 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 60. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные , должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1
х2		1,5

2. .

х1
х2

3. .

х1
х2	12,6

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

Учтем, что , . Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (3; 6). Перпендикулярно вектору проводим прямую .

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямую до тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке С пересеклись две прямые: и . Следовательно, координаты точки С находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили С (6; 3)

Подставляя координаты точки С в уравнение функции цели, получим:

Z_min= .

Ответ: необходимо купить 6 ед. продукта П₁ и 3 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 36 ден. ед.

№ 17

=22, =40, =138, С₁=4, С₂=9, А= .

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты	Необходимое количество
П1	П2
белки
жиры
углеводы
Цена
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z= денежных единиц. Т. о. целевая функция z(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные , должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 2 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 3 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Дата добавления: 2015-07-14