Задачи 1-10 5 страница

В Z-строке есть отрицательные элементы, поэтому делаем шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-8) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбец является разрешающим.

Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 40 стоит в третьей строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
			1/3	8/3			-2/3	26,25
			8/3	13/3			-1/3	32,3
			4/3	2/3			1/3
-Z			11/3	-2/3			8/3

В Z-строке есть отрицательный элемент, поэтому делаем шаг симплекс метода. Отрицательный элемент (-2/3) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбец является разрешающим. Делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 26,25 стоит в первой строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
	105/4		1/8		3/8		-1/4
	105/4		17/8		-13/8		3/4
	45/2		5/4		-1/4		1/2
-Z	675/2		15/4		1/4		5/2

В Z-строке нет отрицательных элементов. Получен оптимальный план (45/2; 0; 105/4; 0; 105; 0). Максимальная прибыль Z()=675/2.

Основными переменными являются: , и . Их значения =45/2, =0 и =105/4 показывают, что предприятию следует производить 45/2 штук изделий вида П₁ и 105/4 штук изделий вида П₃, изделия вида П₂ вообще не производить.

Дополнительные переменные =0, =105/4, =0 показывают, что останется 105/4 ед. сырья второго вида, сырье первого и третьего вида используется полностью.

№ 3

сырье	Продукция	Запасы сырья, ед
П1	П2	П3	П4
Р1 Р2 Р3
Цена, ден. ед.

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Пусть - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, - количество изделий вида П₄, которые предприятие планирует изготовить.

С учетом цены за каждое изделие предприятие получит прибыль от реализации выпущенной продукции: .

Поскольку запасы сырья ограничены, то переменные , , , должны удовлетворять ограничениям.

На изготовление одного изделия вида П₁ затрачивается 2 ед. сырья Р₁, тогда на х₁ изделий сырья Р₁ понадобится . На изготовление одного изделия вида П₂ затрачивается 1 ед. сырья Р₁, тогда на х₂ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₃ затрачивается 1 ед. сырья Р₁ тогда на х₃ изделий сырья Р₁ понадобится ед. На изготовление одного изделия вида П₄ затрачивается 1 ед. сырья Р₁ тогда на х₄ изделий сырья Р₁ понадобится ед.

В распоряжении предприятия сырья Р₁ только 280 ед, то получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку Р₂ данной таблицы, получим второе ограничение по сырью Р₂:

Просматривая строку Р₃ данной таблицы, получим третье ограничение по сырью Р₃: .

Чтобы искомый план был реален, нужно наложить условие неотрицательности на объемы выпуска продукции.

Таким образом, экономико-математическая модель данной задачи примет вид:

,

,

,

, , , .

Решим задачу симплекс методом. Приведем к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: , , .

,

,

,

Переменные , , - означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 0; 280; 80; 250). Составим симплекс таблицу.

Базис	План
									-
-F		-4	-3	-6	-7

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-7) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбец является разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 80 стоит во второй строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
								-1
									-
l l0YpUA3ch6PLoY8wsuTUed05o1fLtNRog526/OOLBM/5MS3Xgnq0gmE6O9gW83JvQ/ZSODyoDPgc rL18Pox749loNhp0Bv2LWWfQy7LOy3k66FzMo8th9iJL0yz66KhFg7jglDLh2B2lHA3+TiqHS7UX 4UnMpz6ET9F9w4Ds8e1J+9G6ae51sZR0t9DHkYN6/eHDTXPX43wP9vn/YPoLAAD//wMAUEsDBBQA BgAIAAAAIQB+Q0282gAAAAQBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI7LTsMwEEX3SPyDNUjs2gkP NTTEqRCPLhBFolSsp/EQR8TjKHbbwNfjrmB5da/OPeVidJ3a8xBaLxouphkoltqbVhoNm/enyQ2o EEkMdV5YwzcHWFSnJyUVxh/kjffr2KgEkVCQBhtjXyCG2rKjMPU9S+o+/eAopjg0aAY6JLjr8DLL ZuiolfRgqed7y/XXeuc0/KBl5Nf4YVdXy80jrl6WD89B6/Oz8e4WVOQx/o3hqJ/UoUpOW78TE1Sn YTKfpaWGHFRq83x+DWp7jFiV+F+++gUAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADhAQAA EwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4/SH/ 1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQD2iCP4 TQIAAFcEAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQB+ Q0282gAAAAQBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAKcEAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABADz AAAArgUAAAAA " strokeweight="1.25pt"/>
-F			-3

В последней оценочной строке есть отрицательные элементы, поэтому нужно делать шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-3) последней строки показывает, что в новый базис следует ввести переменную . Т. е. столбец является разрешающим. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы». Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 125 стоит в третьей строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Базис	План
		0,5		-0,5			-1	-0,5
		0,5		0,5				0,5
-F		4,5		2,5				1,5

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (0; 125; 0; 80; 75; 0; 0).

Основные переменные =0, =125, =0, =80 показывают, что предприятию следует изготовить 125 изделий вида П₂, 80 изделия вида П₄, изделия вида П₁ и П₃ не изготавливать. Доход равен 935 ден. ед.

Дополнительные переменные =75, =0, =0 показывают, что останется 75 ед. сырья Р₁, сырье второго и третьего вида используются полностью.

№ 4

сырье	Продукция	Запасы сырья, ед
П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3
Цена, ден. ед.

Решение.

Построим математическую модель задачи. Для этого надо определить переменные задачи, целевую функцию и ограничения, которым удовлетворяют переменные. Обозначим через - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, которые предприятие планирует изготовить.

Целевая функция Z(x) будет выражать доход от продажи изделий, равный (ден. ед.). Этот доход подлежит максимизации.

Построим ограничения задачи, связанные с ограниченными запасами сырья. На производство изделий вида П₁ в количестве штук будет использовано ед. сырья первого вида, а на производство изделий вида П₂ в объеме штук будет затрачено ед. сырья первого вида, на производство изделий вида П₃ в объеме штук будет затрачено ед. сырья первого вида. Поскольку запас сырья первого вида равен 1200 ед., то расход этого виды сырья на изготовление продукции трех видов не может превышать этой величины. Получили первое ограничение .

Аналогично получим ограничение, связанное с запасом сырья второго вида: .

Ограничение, связанное с запасом сырья третьего вида: .

Учитывая условия не отрицательности объемов выпуска продукции, окончательно получим следующую математическую модель задачи:

,

,

, , .

Итак, математически задача сводится к нахождению числовых значений х₁*, х₂*, х₃* переменных х₁, х₂, х₃, удовлетворяющих линейным нера­венствам и доставляющих максимум линейной функции.

Приведем задачу к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: , , .

,

,

,

Переменные , , - означают возможные остатки сырья.

Решим полученную задачу симплекс методом.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 1200; 150; 3000). Составим начальную симплекс таблицу:

Базис	План
-Z		-300	-250	-450

В Z-строке есть отрицательные элементы, поэтому делаем шаг симплекс метода. Наибольший по модулю отрицательный элемент (-450) Z-строки показывает, что в новый базис вводим переменную . Т. е. столбец является разрешающим.

Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы. Выбираем наименьшее среди полученных чисел. Это число 6 стоит во второй третьей строке и соответствует переменной , эту переменную нужно вывести из базиса. Т. е. строка является разрешающей. Заполним новую таблицу:

Дата добавления: 2015-07-14