Задачи 1-10 1 страница

Задачи 11-20

Для сохранения здоровья и работоспособности человек должен в сутки потреблять не менее усл. ед. белков, не менее усл. ед. жиров, не менее усл. ед. углеводов. Имеется два вида продуктов П₁ и П₂: стоимость единицы каждого из них равна соответственно С₁ и С₂ ден. ед.

Имеется матрица А= , в которой равно количеству усл. ед. белков в единице продукта , равно количеству усл. ед. жиров в единице продукта , равно количеству усл. ед. углеводов в единице продукта ,

Требуется: составить математическую модель задачи, позволяющую сформировать из продуктов П₁ и П₂ суточную диету, которая содержала бы белков, жиров и углеводов не менее минимальных обоснованных норм и требовала бы минимальных денежных затрат; решить задачу графическим способом.

№ 11

=20, =40, =88, С₁=6, С₂=10, А= .

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты	Необходимое количество
П1	П2
белки
жиры
углеводы
Цена
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z= денежных единиц. Т. о. целевая функция z(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные , должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 4 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 1 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 20. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные , должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1
х2

2. .

х1	2,5
х2

3. .

х1		14,5
х2

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

Учтем, что , . Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (6; 10). Перпендикулярно вектору проводим прямую .

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямую до тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке С пересеклись две прямые: и . Следовательно, координаты точки С находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили С (7; 4)

Подставляя координаты точки С в уравнение функции цели, получим:

Z_min= .

Ответ: необходимо купить 7 ед. продукта П₁ и 4 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 82 ден. ед.

№ 12

=69, =84, =39, С₁=4, С₂=12, А= .

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты	Необходимое количество
П1	П2
белки
жиры
углеводы
Цена
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z= денежных единиц. Т. о. целевая функция z(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные , должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 3 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 16 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 69. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные , должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1
х2		3,75

2. .

х1
х2		5,25

3. .

х1
х2	6,5

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

Учтем, что , . Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (4; 12). Перпендикулярно вектору проводим прямую .

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямую до тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке С пересеклись две прямые: и . Следовательно, координаты точки С находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили С (7; 3)

Подставляя координаты точки С в уравнение функции цели, получим:

Z_min= .

Ответ: необходимо купить 7 ед. продукта П₁ и 3 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 64 ден. ед.

№ 13

=45, =138, =135, С₁=13, С₂=10, А= .

Решение.

Данные задачи представим в таблице:

Питательные вещества	Продукты	Необходимое количество
П1	П2
белки
жиры
углеводы
Цена
количество

Пусть - количество единиц продукта П₁, - количество единиц продукта П₂, которое планируется закупить. Таблица дополнена этими переменными.

С учетом цены за каждую единицу продукта, покупателю необходимо будет заплатить следующую сумму: z= денежных единиц. Т. о. целевая функция z(x) будет выражать стоимость рациона, которую необходимо минимизировать:

Продукты необходимо закупить в таком количестве, чтобы обеспечить организм необходимым количеством питательных веществ, т. е. переменные , должны удовлетворять ограничениям.

В одной единице продукта П₁ содержится 9 усл. ед. белка, тогда в х₁ единицах содержится единиц белка. В одной единице продукта П₂ содержится 2 усл. ед. белка, тогда в х₂ единицах содержится усл. ед. белка.

Тогда суммарное количество усл. ед. белка в рационе равно .

В организме же белка должно быть не меньше необходимого количества, т. е. не меньше 45. Получим первое ограничение .

Рассуждая аналогично, и просматривая строку «жиры» данной таблицы, получим второе ограничение:

Просматривая строку «углеводы» данной таблицы, получим третье ограничение:

Учтем, что переменные , должны быть неотрицательными (нельзя купить отрицательное число единиц продукта).

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

,

,

,

, .

Строим в прямоугольной декартовой системе координат прямые.

1. .

х1
х2

2. .

х1		11,5
х2

3. .

х1
х2		7,5

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

Учтем, что , . Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (13; 10). Перпендикулярно вектору проводим прямую .

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямую до тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке В пересеклись две прямые: и . Следовательно, координаты точки В находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили В (3; 9)

Подставляя координаты точки В в уравнение функции цели, получим:

Z_min= .

Ответ: необходимо купить 3 ед. продукта П₁ и 9 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 129 ден. ед.

№ 14

=92, =128, =56, С₁=12, С₂=11, А= .

Дата добавления: 2015-07-14