Задачи 1-10 4 страница

х1
х2

3. .

х1		13,6
х2

Каждая из этих прямых разбивает плоскость на две полуплоскости. Только одна из полуплоскостей является решением соответствующего неравенства. Пересечение решений трех неравенств является решением системы – многоугольником решений.

Возьмем точку (1; 1) и подставим в каждое неравенство системы.

1. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

2. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

3. не верно. Часть плоскости, в которой лежит точка (1; 1) не является решением неравенства .

Учтем, что , . Заштриховав соответствующие области, получим многоугольник решений АВСЕ – неограничен сверху.

Строим вектор с началом в точке (0; 0) и концов в точке (6; 10). Перпендикулярно вектору проводим прямую .

Необходимо получить минимум функции цели, т. е. . Параллельным переносом передвигаем прямую до тех пор пока весь многоугольник не окажется сверху. В точке С пересеклись две прямые: и . Следовательно, координаты точки С находим из системы уравнений этих прямых.

, ,

; .

Получили С (8; 5)

Подставляя координаты точки С в уравнение функции цели, получим:

Z_min= .

Ответ: необходимо купить 8 ед. продукта П₁ и 5 ед. продукта П₂, минимальные денежные затраты равны 98 ден. ед.

Задачи 1-10

На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции . При ее изготовлении используются ресурсы P₁,P₂ и P₃. Размеры допустимых затрат которых ограничены соот­ветственно величинами , , . Имеется матрица А= норм расхода ресурсов, в которой элемент , стоящий на пересечении i-той строки и к-го столбца, равен количеству ресурса , расходуемого на единицу продукции . Цена единицы продукции равна ден. ед.

Требуется: составить математическую модель задачи, позволяющую найти сбалансированный по ресурсам план выпуска продукции, обеспечивающий предприятию максимальный доход; симплекс методом найти оптимальный план выпуска продукции по видам.

№ 1

сырье	Продукция	Запасы сырья, ед
П1	П2	П3	П4
Р1 Р2 Р3
Цена, ден. ед.

Решение:

Составим математическую модель задачи.

Обозначим через Х=(х₁, х₂, х₃, х₄) – план производства, показывающий какие виды продукции и в каких количествах необходимо производить. Общая величина прибыли – это целевая функция, которую необходимо максимизировать

.

Так как – это расход i -го вида сырья (i= ) на производство x_j единиц j -ой продукции (j= ), то, просуммировав расход i -го ресурса на выпуск всех 4 видов продукции, получим общий расход этого ресурса, который не должен превосходить b_i единиц. Т. е. просмотрев таблицу по сторокам, получим систему ограничений на сырье

,

,

.

Чтобы искомый план был реален, наряду с ограничениями на сырье нужно наложить условие неотрицательности на объемы x_j выпуска продукции

Итак, математическая модель задачи о наилучшем использовании сырья:

,

,

.

, , , .

Решим задачу симплекс методом. Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₅. Во 2-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₆. В 3-м неравенстве смысла (≤) вводим базисную переменную x₇.

,

,

,

Переменные , , - означают возможные остатки сырья.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 0; 20; 37; 30). Составим симплекс таблицу.

Базис	План
S S6MUqAbuw/HF0EcYWXLqvO6c0atlWmq0wU5d/vFFguf8mJZrQT1awTCdHWyLebm3IXspHB5UBnwO 1l4+Hy57l7PxbDzoDPqjWWfQy7LOy3k66Izm0cUwe5GlaRZ9dNSiQVxwSplw7I5SjgZ/J5XDpdqL 8CTmUx/Cp+i+YUD2+Pak/WjdNPe6WEq6W+jjyEG9/vDhprnrcb4H+/x/MP0FAAD//wMAUEsDBBQA BgAIAAAAIQCcHIwe3QAAAAgBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI/LTsMwEEX3SPyDNUjs2kkB tTTEqRCPLlCLRKlYu/EQR8TjKHbbwNcziAWs5nGv7pwpFoNv1YH62ATWMBlnoIirYBuuNWxfH0fX oGIybE0bmDR8UoRFeXpSmNyGI7/QYZNqJSEcc6PBpdTliLFy5E0ch45YtPfQe5Nk7Gu0vTlKuG/x Isum6E3DcsGZju4cVR+bvdfwhY6QntObW18utw+4Xi3vn6LW52fD7Q2oREP6M8MPvqBDKUy7sGcb VathNJ+KU+rkCpTos9lcmt3vAssC/z9QfgMAAP//AwBQSwECLQAUAAYACAAAACEAtoM4kv4AAADh AQAAEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAW0NvbnRlbnRfVHlwZXNdLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQA4 /SH/1gAAAJQBAAALAAAAAAAAAAAAAAAAAC8BAABfcmVscy8ucmVsc1BLAQItABQABgAIAAAAIQDp lh7YTQIAAFcEAAAOAAAAAAAAAAAAAAAAAC4CAABkcnMvZTJvRG9jLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAA IQCcHIwe3QAAAAgBAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAKcEAABkcnMvZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQA BADzAAAAsQUAAAAA " strokeweight="1.25pt"/>									12,3
									-
-F		-11	-6	-9	-6

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₁, так как это наибольший коэффициент по модулю. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы», из них выберем наименьшее – 10.

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	План			l UQnUQA5IEPkIIytO3a3zM3q5yCqN1tipy//2NE7ctFwJ6tFKhulsv7aYV90aaFfC4UFlwGe/6uTz bhyNZxezi2FvOBjNesMoz3vP59mwN5rH52f5szzL8vi9oxYPk5JTyoRjd5ByPPw7qewfVSfCo5iP fQhP0X2ngezh35P2o3XT7HSxkHR7rV1v3ZRBvd55/9Lc8/h1771+fg+mPwAAAP//AwBQSwMEFAAG AAgAAAAhABXEnYjXAAAABwEAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxMjk1OhEAQhfcm3qFTJm6M0wwL RKSZGBNXLsQZD1BACUS6mtDN0N7e0o0u30/e+8pDtJM60+JHxwb2uwQUceu6kXsD76fn2xyUD8gd To7JwBd5OFSXFyUWndv4jc7H0CsZYV+ggSGEudDatwNZ9Ds3E0v24RaLQeTS627BTcbtpNMkybTF keVhwJmeBmo/j6s1EF8zDrHOY7Px+uLzmzqirY25voqPD6ACxfBXhh98QYdKmBq3cufVZCC7S6Up fgZK4l/ZGEiT/T3oqtT/+atvAAAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAA AAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAA lAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADBiVd9MAgAA VwQAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhABXEnYjX AAAABwEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAApgQAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAACq BQAAAAA= " strokeweight="1.5pt"/>
G KVAN3Ifji6HPMLLk1O26OKPzVVJqtMHOXf5xsgDaWZiWa0E9WsEwnR/mFvNyP4f4Ujg8qAz4HGZ7 +7y77F3Ox/PxoDPoj+adQS9NO88XyaAzWkQXw/RZmiRp9N5RiwZxwSllwrE7Wjka/J1VDpdqb8KT mU86hOfovkQge3x70r61rpt7X6wk3S21U8N1Gdzrgw83zV2PX9c+6uf/YPYDAAD//wMAUEsDBBQA BgAIAAAAIQBCIxag3gAAAAkBAAAPAAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sTI9NT8MwDIbvSPyHyEjcNrdM oqM0nRAfOyCGxJg4Z61pKhqnarKt7NfPiAMcbT96/bzFYnSd2tMQWs8a0mkCirjydcuNhs3702QO KkTDtek8k4ZvCrAoz88Kk9f+wG+0X8dGSQiH3GiwMfY5YqgsOROmvieW26cfnIkyDg3WgzlIuOvw Kkmu0ZmW5YM1Pd1bqr7WO6fhiJaQXuOHXc2Wm0dcvSwfnoPWlxfj3S2oSGP8g+FHX9ShFKet33Ed VKdhkqapoBpmc+kkQJZlN6C2vwssC/zfoDwBAAD//wMAUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhALaDOJL+AAAA 4QEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA OP0h/9YAAACUAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAvAQAAX3JlbHMvLnJlbHNQSwECLQAUAAYACAAAACEA DPrOsE0CAABXBAAADgAAAAAAAAAAAAAAAAAuAgAAZHJzL2Uyb0RvYy54bWxQSwECLQAUAAYACAAA ACEAQiMWoN4AAAAJAQAADwAAAAAAAAAAAAAAAACnBAAAZHJzL2Rvd25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAE AAQA8wAAALIFAAAAAA== " strokeweight="1.25pt"/>				3/2		1/2			-
			-2	-7/2		-3/2			3,5
S S6MUqAbug9HFwEcYWXLqvO6c0atlWmq0wU5d/vFFguf8mJZrQT1awTCdHW2LeXmwIXspHB5UBnyO 1kE+Hy57l7PRbBR34v5w1ol7WdZ5OU/jznAeXQyyF1maZtFHRy2Kk4JTyoRj10o5iv9OKsdLdRDh ScynPoRP0X3DgGz79qT9aN00D7pYSrpb6HbkoF5/+HjT3PU434N9/j+Y/gIAAP//AwBQSwMEFAAG AAgAAAAhAH5DTbzaAAAABAEAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxMjstOwzAQRfdI/IM1SOzaCQ81 NMSpEI8uEEWiVKyn8RBHxOModtvA1+OuYHl1r8495WJ0ndrzEFovGi6mGSiW2ptWGg2b96fJDagQ SQx1XljDNwdYVKcnJRXGH+SN9+vYqASRUJAGG2NfIIbasqMw9T1L6j794CimODRoBjokuOvwMstm 6KiV9GCp53vL9dd65zT8oGXk1/hhV1fLzSOuXpYPz0Hr87Px7hZU5DH+jeGon9ShSk5bvxMTVKdh Mp+lpYYcVGrzfH4NanuMWJX4X776BQAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAAT AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/W AAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhACFt6opM AgAAVwQAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAH5D TbzaAAAABAEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAApgQAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMA AACtBQAAAAA= " strokeweight="1.25pt"/>									7,5
-F				15/2	-6	11/2

Полученный опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₄, так как это наибольший коэффициент по модулю. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы», из них выберем наименьшее – 3,5.

Следовательно, 2-ая строка является ведущей. После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	План
				3/2		1/2			6,67
	7/2		-1	-7/4		-3/4	1/2		-
							-2
-F			-1	-3

Полученный опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x₃, так как это наибольший коэффициент по модулю. Находим симплекс – отношения: делим элементы столбца «План» на положительные элементы разрешающего столбца и заносим их в последний столбец таблицы «Симплексы», из них выберем наименьшее – 2.

Следовательно, 3-ая строка является ведущей. После преобразований получаем новую таблицу:

Базис	План
			1/16			-1/16	3/8	-3/16
			3/32			-3/32	1/16	7/32
			5/8			3/8	-1/4	1/8
-F			7/8			17/8	9/4	3/8

В последней оценочной строке нет отрицательных элементов. Полученный план можно считать оптимальным (7; 0; 2; 7; 0; 0; 0).

Таким образом, продукцию 1 вида необходимо производить в количестве 7 ед., 2-го вида – не производить, 3-го вида – 2 ед., 4-го вида – 7 ед. Прибыль при этом составит 137 ден. ед.

Значения х ₅=0, х ₆=0, х ₇=0 показывают остатки ресурсов соответственно 1-го, 2-го и 3-го вида при оптимальном плане производства. Таким образом, все виды сырья будут израсходовано полностью.

№ 2

сырье	Продукция	Запасы сырья, ед
П1	П2	П3
Р1 Р2 Р3
Цена, ден. ед.

Решение.

Построим математическую модель задачи. Для этого надо определить переменные задачи, целевую функцию и ограничения, которым удовлетворяют переменные. Обозначим через - количество изделий вида П₁, - количество изделий вида П₂, - количество изделий вида П₃, которые предприятие планирует изготовить.

Целевая функция Z(x) будет выражать доход от продажи изделий, равный (ден. ед.). Этот доход подлежит максимизации.

Построим ограничения задачи, связанные с ограниченными запасами сырья. На производство изделий вида П₁ в количестве штук будет использовано ед. сырья первого вида, а на производство изделий вида П₂ в объеме штук будет затрачено ед. сырья первого вида, на производство изделий вида П₃ в объеме штук будет затрачено ед. сырья первого вида. Поскольку запас сырья первого вида равен 150 ед., то расход этого виды сырья на изготовление продукции трех видов не может превышать этой величины. Получили первое ограничение .

Аналогично получим ограничение, связанное с запасом сырья второго вида: .

Ограничение, связанное с запасом сырья третьего вида: .

Учитывая условия не отрицательности объемов выпуска продукции, окончательно получим следующую математическую модель задачи:

,

,

, , .

Итак, математически задача сводится к нахождению числовых значений х₁*, х₂*, х₃* переменных х₁, х₂, х₃, удовлетворяющих линейным нера­венствам и доставляющих максимум линейной функции.

Приведем задачу к канонической форме, т. е. перейдем от ограничений – неравенств к равенствам. Для этого введем дополнительные (балансовые) неотрицательные переменные: , , .

,

,

,

Переменные , , - означают возможные остатки сырья.

Решим полученную задачу симплекс методом.

В качестве опорного плана выберем план, при котором выпуск продукции не производится, и все виды сырья остаются не использованными, т. е. Х=(0; 0; 0; 150; 180; 120). Составим начальную симплекс таблицу:

Базис	План
-Z		-8	-7	-6

Дата добавления: 2015-07-14