Решение. Нормальное напряжение в произвольной точке сечения стержня

Нормальное напряжение в произвольной точке сечения стержня, определяемой координатами х и у, запишется в виде

, (10)

где х_р, у_р - координаты точки приложения силы Р (точки A); F -площадь поперечного сечения стержня; J_xc, J_yc - главные моменты инерции сечения.

1. Определим координаты центра тяжести сечения х_с и у_с. Для этого выведем вспомогательную систему координат хоу. Тогда , где - статический момент сечения: . Индексы 1, 2, 3 относятся соответственно к элементарным фигурам, на которые разбито заданное составное сечение (см. рис. 7.22). Отметим также, что площадь первой фигуры следует брать со знаком минус.

Рис. 7.22

Подставляя исходные данные, получим:

см³.

Тогда .

Ввиду симметрии сечения у = 2 b = 4 см. Через найденный центр тяжести проводим главные центральные оси х_с и у_с.

2. Вычислим главные моменты инерции.

Ввиду совпадения осей х_с и х_{с 1}, х_{с 2}, х_{с 3}:

.

Для вычисления момента инерции относительно оси у_с используем формулу изменения момента инерции при параллельном переносе осей:

Здесь через l ₁, l ₂, l ₃ обозначены^: соответственно расстояния между осью у _с и осями у_{с 1}, у_{с 2}, у_{с 3}.

3. Нахождение наибольших напряжений и допускаемых нагрузок.

Подставляя в формулу (10) вычисленные значения моментов инерции, а также координаты точки приложения нагрузки и точек, где возникают наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения, получим:

В точке А(-4,136; 4) - напряжение сжатия

.

Из условия прочности при сжатии

.

множитель 10⁴ здесь переводит квадратные, сантиметры в метры. Допускаемая нагрузка

В точке D (3,864;-2) возникает максимальное напряжение растяжения

Из условия прочности при растяжении

.

Допускаемая нагрузка

.

Выбирая меньшую из двух нагрузок, окончательно принимаем

кН.

В ходе решения этой задачи можно также порекомендовать построение нейтральной оси в случаях, когда трудно сразу определить координаты опасных точек. Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии, касающиеся контура сечения. Таким образом, будут найдены точки сечения, расположенные по oбe стороны от нейтральной оси и наиболее удаленные от нeё, которые и являются опасными.

Дата добавления: 2015-07-14