Расчёт сложной цепи методом узловых напряжений

Узловым напряжением называется напряжение между двумя узловыми точками.

Для приведенной схемы узловое напряжение U это U = U_АВ.= U_MN = U_DF

Выведем формулу для вычисления величины U.

Из составления потенциальной диаграммы цепи известно, что применительно к нашей схеме

U = Е₁ – I₁(R₀₁ + R₁), откуда I₁ = (Е₁ – U): (R₀₁ + R₁), = (Е₁ – U) • G₁,

где G₁ = 1 / ( R₀₁ + R₁) – проводимость первой ветви

Для второй ветви аналогично

U = Е₂ – I₂•(R₀₂ + R₂), откуда I₂ = (Е₂ – U): (R₀₂ + R₂), = (Е₂ – U) • G₂,

где G₂ = 1 / ( R₀₂ + R₂) – проводимость второй ветви.

Ток в третьей ветви определится из закона Ома:

I₃ = U: R₃ = U • G₃, где G₃ = 1/ R₃ – проводимость третьей ветви.

Применим 1-ый закон Кирхгофа для узла А:

I₁+ I₂ – I₃ = 0;

(Е₁ – U) • G₁ + (Е₂ – U) • G₂ – U • G₃ = 0,

Раскрываем скобки и вычисляем узловое напряжение

Узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений ЭДС на проводимости соответствующих ветвей к сумме проводимостей всех ветвей.

Можно также показать, что если направление какой-либо ЭДС было бы противоположным, то в числителе перед этой ЭДС должен стоять знак «–».

Пример.

Дано:

Схема 1. Е₁ = 48 В, Е₂ =36 В, R₁ = 35 Ом, R₂ = 36 Ом, R₃ = 50 Ом, R₀₁ = 5 Ом, R₀₂ = 4 Ом.

Определить все токи методом узловых напряжений.

Решение:

1. Определяем проводимости ветвей

G₁ = 1/ (R₀₁ + R₁₎ = 1/ 35+5 = 0,025 См.

G₂ = 1/ (R₀₂ + R₂₎ = 1/ 36+4 = 0,025 См.

G₃ = 1/ R₃ = 1/ 50 = 0,02 См.

= (48•0,025+36•0,025): ( 0, 025 +0,025 +0,02) = 30 В.

Находим токи в ветвях

I₁ = (Е₁ – U) • G₁ = (48 – 30) • 0,025 = 0,45 А.

I₂ = (Е₂ – U) • G₂ = (36 – 30) • 0,025 = 0,15 А.

I₃ = U • G₃ = 30 • 0,02 = 0,6 А.

Проверка.

Сделана выше.

Дата добавления: 2015-07-12