Расчёт цепей методом свёртывания

Метод применяют при расчёте цепей, в которых имеется более 2-х узлов, при этом сохраняется вся методика расчёта цепей при смешанном соединении элементов (предыдущий пример), особенностью является то, что схема рассчитывается, начиная с конца.

Пример:

Дано: ­R₁ = ­R₂ = ­R₇ = ­R₉ = ­R₁₀ = 10 Ом; R₃ = ­R₆ = ­R₈ = 20 Ом; R₄ = ­R₅ = 5 Ом;

U_АБ = 150 В.

Определить все токи.

Решение.

Анализ схемы: Исходя из указанных знаков напряжения на зажимах, все токи текут слева направо и сверху вниз, т.е. из точки с более высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом.

Участки с последовательным соединением: R₁ – R_3-10 – R₂; R₄ – R_6-10 - R₅; R₁₀ – R₉;

R₇ – R_8-10 ; Участки с параллельным соединением: R₃ // R_4-10; R₆ // R_7-10; Исходя из этого

I₁ = I₂, I₄ = I₅, I₉ = I₁₀. Номера токов совпадают с номерами сопротивлений.

Применяем 1-ый закон Кирхгофа для узлов C, F, L, K, D: ­

I₁ = I₃ + I₄;

I₄ = I₆ + I₇;

I₇ = I₈ + I₁₀;

I₅ = I₆ + I₈ + I₉;

I₂ = I₃ + I₅;

Начинаем «сворачивать» схему от конца, при этом определяем эквивалентные сопротивления по отдельным участкам:

R_9-10 = 10 + 10 =20 Ом;

R₈ = R_9-10 и включены параллельно след., R_8-10 = R₈ / 2 = 20/2 = 10 Ом;

R_7-10 = R₇ + R_8-10 = 10 + 10 = 20 Ом;

R₆ = R_7-10 = 20 Ом, след., R_6-10 = R₆ / 2 = 20/2 = 10 Ом.

R_4-10 = R₄ + R_6-10 + R₅ = 5 + 10 + 5 = 20 Ом.

R₃ = R_4-10; след., R_3-10 = R₃ /2 = 10 Ом.

Находим эквивалентное сопротивление для всей схемы, т.е. такое одно сопротивление, которое может заменить все 10 сопротивлений, при этом токи на входе и выходе схемы не должны измениться:

R_экв = R_1-10 = R₁ + R_3-10 + R₂ = 10 + 10 + 10 = 30 Ом.

Получаем схему:

Находим токи в различных участках схемы:

I₁ = I₂ = U_АБ / R_экв = 150 / 30 = 5 А.

U_СD = I₁ · R_3-10 = 5 · 10 = 50 B.

I₃ = U_СD / R₃ = 50/ 20= 2,5.

I₄ = U_СD / R_4-10 = 50/20 = 2,5 А.

I₅ = I₄ = 2,5 А.

U_FK = I₄ · R_6-10 = 2,5 · 10 = 25 В.

I₆ = U_FK / R₆ = 25/20 = 1,25 А.

I₇ = I₄– I₆ = 2,5 – 1,25 = 1,25 А.

U_KL = I₇ · R_8-10 = 1,25 · 10 = 12,5 А.

I₈ = U_KL / R₈ = 12,5/20 = 0,625 А.

I₉ = I₁₀ = I₇ – I₈ = 1,25 – 0,625 = 0,625 А.

Проверка решения может быть выполнена несколькими способами; в нашем случае наиболее простой путь: U_АБ = U₁ + U₂ + U₃ = I₁·R₁ + I₂·R₂ + I₃·R₃;

150 = 5·10 + 5·10 + 2,5 ·20=50+50+50;

Режимы работы электрических цепей

Различают три основных режима работы электрической цепи: рабочий режим, режим холостого хода (режим х.х.), режим короткого замыкания (режим к.з.)

На схеме источник ЭДС(Е) с внутренним сопротивлением R₀, нагружен на переменное сопротивление R, при этом ключом К цепь можно включать и разрывать. Напряжение контролирует вольnметр V.

1. Режим холостого хода (х.х.).

Этому режиму соответствует разомкнутое положение ключа, ток цепи отсутствует, при этом очень незначительный ток вольтметра можно не учитывать. Показания вольтметра в этом случае будут указывать на величину ЭДС источника. Т.е. в режиме х.х. напряжение равно ЭДС..: U = E, ток отсутствует, т.е. I = 0, мощность не потребляется т.е. Р = 0, падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника также отсутствует U₀ = 0;

2. Рабочий режим.

Ключ замкнут, через сопротивление протекает ток по величине не превышающий номинальный ток для данного сопротивления, его величина определится из закона Ома для всей цепи ; Откуда E = I(R+R₀) = U + U₀, где U = I·R – падение напряжения на сопротивлении нагрузки R, U₀ = I·R₀ – падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника R_0,

В этом режиме будем иметь три вида мощности:

1) мощность развиваемую источником Р₁,

2) мощность потребляемую нагрузкой Р₂ (т.е. это тепло выделяемое на сопротивлении R),

3) мощность потерь, которая в виде тепла будет выделяться на источнике Р₀;

Каждая из этих мощностей зависит от силы тока

Р₁ = Е·I;

Р₂ = I² ·R;

Р₀ = I² ·R₀;

Между собой эти мощности связаны формулой баланса мощностей: Р₁ = Р₂ – Р₀, формула подтверждает частный случай закона сохранения энергии: мощность источника Р₁ расходуется на полезную мощность Р₂ и мощность потерь Р₀. Из этой формулы полезная мощность

Р₂ = Р₁ – Р₀ = Е·I – I² ·R₀;

3. Режим короткого замыкания (режим К.З.)

Это аварийный режим, который возникает в результате старения изоляции или ошибки персонала, например, ошибка студента из-за невнимательности при выполнении лабораторной работы. Режим К.З. может возникнуть, например, если по неосторожности замкнуть проводом или инструментом зажим «+» и зажим «–» на источнике, или, например, измеряя напряжение вольтметром, вместо проводов от вольтметра взять по ошибке провода от амперметра, обладающего очень малым сопротивлением. При таком режиме сопротивление нагрузки отсутствует т.е. R = 0 (сопротивлением соединительных проводников пренебрегаем ввиду их малости) и ток может достигать очень значительных величин, создавая угрозу для персонала, а также может привести к выходу из строя аппаратуры. Величина тока к.з. будет ограничиваться только внутренним сопротивлением источника I_{к з} = Е/ R₀, при этом вся величина ЭДС источника будет приложена к своему собственному внутреннему сопротивлению R₀ и т.о. падение напряжения внутри источника будет равно ЭДС, т.е. U₀ = Е,; Мощность нагрузки (полезная) Р₂ = 0, т.к.ток через нагрузку отсутствует, нагрузка оказывается зашунтированной, т.е. закороченной, при этом U = 0, Р₀ = I_кз² ·R₀,

Иногда режим К.З. вызывают искусственно, например, при испытании обмоток трансформаторов, при этом проводник создающий режим К.З. называется шунтом, однако такая операция выполняется на низком напряжении и требует длительной и сложной подготовки опытного персонала. В бытовых условиях из– за К.З. могут перегореть пробки, или может выбить автомат в распределительном шкафу. В любом случае такой режим недопустим и говорит о слабой подготовке персонала.

Дата добавления: 2015-07-12