Решение. 1 Определяем траекторию точки

1 Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

3x=6t²+6

-4y=-6t²-4

-----------

3x-4y=2

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A₀, подставим в заданные уравнения значения t₀=0; из первого уравнения получим x₀=2 см, из второго y₀=1 см. При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A₀(2; 1).

Рисунок 1.5

2 Определяем скорость движения точки, найдя сначала ее проекции на оси координат:

Тогда

При t₀=0 с скорость точки v₀=0, при t₁=1 с – v₁=5 см/с, при t₂=5 с – v₂=25 см/с.

3 Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

4 Определяем путь, пройденный точкой за первые 5 с движения. Выразим путь как функцию времени:

Проинтегрируем последнее выражение:

Если t=t₀=0, то C=s₀; в данном случае s₀=0, поэтому s=2,5t². Находим, что за 5 с точка проходит расстояние s|_t=5=2,5⋅5²=62,5 см.

Задача 30

В механизме стрелочного индикатора движение от рейки AB, движущейся в вертикальных направляющих по закону: x=2sinπt см, передается через шестерни 1, 2, 3, 4, 5 стрелке, скреплённой с шестернёй 5; шестерни 2 и 1, 3 и 4 скреплены между собой.

Рисунок 2.9

Считая известными радиусы шестерён и длину стрелки l, определить в момент времени t=2/3 с скорость и ускорение точки K – конца стрелки (r ₁=3 см, r₂=1,5 см, r₃=2 см, r₄=1 см, r₅=1,5 см, l=4 см).

Дата добавления: 2015-07-11