Пример решения. Примем начало координат в левом конце призмы 1, тогда координаты

Примем начало координат в левом конце призмы 1, тогда координаты, определяющие положение тел 1, 2, 3: x ₁, x ₂, x ₃ соответственно. Внешние силы, действующие на механическую систему: P ₁, P ₂, P ₃, N, M ₀, где P ₁, P ₂, P ₃ – веса соответствующих тел; N – реакция гладкой поверхности.

Для решения задачи воспользуемся теоремой о движении центра масс

m ⊗ a_c= R^e,

а в проекции на горизонтальную ось:

в данной задаче R_x^e = 0.

Так как в начальный момент система покоилась, то

следовательно, x_c = const.

Вычислим абсциссу центра масс системы в двух случаях: 1 – для начального положения груза 2 (рисунок 1.2, а); 2 – для того положения системы, когда груз переместится по наклонной плоскости на расстояние, равное S (рисунок 1.2, б), а призма предположительно переместится влево по горизонтали.

а

б

Рисунок 1.2

Абсцисса центра масс системы до перемещения груза 2 (рисунок 1.2, б)

Обозначим перемещение призмы Δ. После того как груз 2 переместился на расстояние S, призма со всеми телами системы, находящимися на ее поверхности, переместится влево на расстояние Δ, координаты центров тяжести тел по оси x (в системе xOy) будут следующими:

для призмы 1: x ₁^/ = Δ;

для груза 2: x ₂^/ = x ₂ - Δ + S⋅ cos( 30⁰ )

(за счет переносного движения вместе с подвижной системой, связанной с призмой, абсцисса x ₂ уменьшилась на величину Δ, за счет переносного движения по поверхности призмы абсцисса увеличилась на расстояние S⋅ cos( 30⁰ ) - рисунок 1.3).

Рисунок 1.3

Груз 3 поднимется по вертикали вверх за счет того, что левая нить уменьшится на величину S. Абсцисса центра тяжести груза 3 за счет его переносного движения вместе с призмой уменьшится на Δ и станет равной для груза 3: x ₃^/ = x ₃ - Δ.

Абсцисса центра масс системы после перемещения груза 2 по поверхности призмы

x_c ^/ = (M ₁⋅ (x ₁ - Δ) + M ₂⋅ (x ₂ + S⋅ cos( 30⁰ ) - Δ) + M ₃⋅ (x ₃ - Δ)) / (M ₁ + M ₂ + M ₃ ) Приравнивая значения этих абсцисс, т.к. x_c = const, получим

(M ₁⋅ x ₁ + M ₂⋅ x ₂ + M ₃⋅ x ₃ ) / (M ₁ + M ₂ + M ₃ ) = (M ₁⋅ (x ₁ - Δ) + M ₂⋅ (x ₂ + S⋅ cos( 30⁰ ) - Δ) + M ₃ ⋅(x ₃ - Δ)) / (M ₁ + M ₂ + M ₃ ).

Упрощая, запишем

Δ ⋅ (M ₁ + M ₂ + M ₃ ) = M ₂ ⋅ S⋅ cos 30⁰.

Знак «+» в результате говорит о правильности предположения, что призма сместится влево. Таким образом, призма переместится влево на расстояние

Δ = M ₂ ⋅ S⋅ cos( 30⁰ ) / (M ₁ + M ₂ + M ₃ ).

Отсюда находим величину опорной реакции R:

Положительный знак реакции R означает что изначально выбранное направление оказалось правильным

Для проверки, можно просто сложить все силы направленные вправо:

и силы направленные влево (включая R):

Эти суммы должны совпадать.

Задача. 19

Вал нагружен скручивающими моментами. Определить величину и направление неизвестного уравновешивающего момента M₂ (рис. 1), если M₁=30кНм, M₃=44кНм, M₄=6кНм

Дата добавления: 2015-07-11