Полиномиальные и рациональные неравенства

Полиномиальные неравенства. Так называются неравенства типа: P_n(x) ³ Q_m(x). Здесь P_n(x) и Q_m(x) многочлены от x степени n и m соответственно. Отметим, что в качестве символа неравенства может быть использован любой из символов «<, >, £, ≥», – все неравенства подобного типа называются полиномиальными.

Стандартная процедура решения подобных неравенств состоит в следующем:

- переносим многочлен Q_m(x) в левую часть и выполняем приведение подобных членов, в результате получим неравенство R_k(x) ³ 0; здесь k = max{n,m} – наибольшая из степеней исходных многочленов;

- находим корни многочлена и представляем его в виде произведения двучленов со степенями и, возможно, многочлена четной степени не имеющего корней: R_k(x) = (x - a ₁)^a (x - a ₂)^b... (x - a _j)^l Q_n-m(x)

- записываем неравенство в каноническом виде:

(x - a ₁)^a (x - a ₂)^b... (x - a _j)^l Q_n-m(x) ³ 0 [22]

- теперь используя технику, описанную в предыдущем пункте справа налево рисуем интервалы знакопостоянства на вещественной прямой:

И наконец пишем ответ, т.е. описываем полученную картину в виде некоторого множества, составленного из конечных и/или бесконечных интервалов:

P_n(x) > Q_m(x) истинно, при x Î {(–¥;а₁) ( а₁; а₂) ( а₂; а₃) ( а₃; + ¥)}.

На этом процесс решения полиномиального неравенства заканчивается.

Рациональные неравенства.

Рациональной функцией называется отношение двух полиномов[23]:

Соответственно, рациональным неравенством называется нераве6нство, в обеих частях которого стоят рациональные функции: R₁(x) > R₂(x).[24]

Как и в случае полиномиальных неравенств, процедура решения начинается с переноса всех функций x в левую часть. В результате после приведения к общему знаменателю получим неравенство вида:

R₁(x) – R₂(x) = R₃(x) > 0.

Здесь мы воспользовались тем, что как разность двух обычных дробей есть дробь, так и разность двух рациональных функций есть рациональная функция.

Теперь рассмотрим получившееся неравенство: . Это неравенство справедливо в том и только в том случае, когда числитель и знаменатель дроби имеют одинаковый знак. Но точно так же произведение двух сомножителей больше нуля тогда и только тогда, когда оба сомножителя имеют одинаковый знак. Отсюда следует, что:

Û P(x)×Q(x) > 0

Последнее неравенство это уже неравенство полиномиальное, а как поступать с таким неравенством мы уже разобрали: Находим корни P(x) и Q(x), строим соответствующие интервалы знакопостоянства и т.д.

Некоторые особенности возникают в случае нестрогих неравенств (≥, £). Дело в том, что в этом случае корни числителя следует включать в ответ, а вот корни знаменателя включать нельзя, поскольку нуль в знаменателе вещь недопустимая. Поэтому приведение к полиномиальному неравенству в этом случае протекает так:

Т.е. корни знаменателя в случае нестрогого неравенства необходимо из решения исключить.

Пример:

Здесь мы сначала перенесли функцию из правой части в левую (получили неравенство типа R₁(x) – R₂(x) £ 0), затем выполнили вычитание и превратили разность рациональных функций в одну рациональную функцию (получили неравенство типа R₃(x) £ 0). Далее превратили дробь в произведение, дополнили условием отличия знаменателя от нуля и потом поменяли знак в первом сомножителе, чтобы иметь стандартную конструкцию (x - a ₁)[25].

Теперь мы имеем обычное полиномиальное неравенство, для которого легко написать ответ: { } Û x Î {(–¥; 0) [ 1; + ¥)}.

Обратите внимание, что с нулем, корнем знаменателя, соседствует круглая скобка, а с единицей, корнем числителя, квадратная. Т.е. корни числителя как границы интервалов понимаются включительно, а знаменателя – исключительно.

дополнения

Дополнение 1. Отношение эквивалентности. Классификация. Математика – абстрактная наука – а что это значит?

Мы выше ввели определение эквивалентных утверждений: да утверждения эквивалентны, если их множества истинности совпадают. «Быть эквивалентными» - это отношение между утверждениями. Мы уже знаем в математике два отношения: «быть больше/меньше» и «быть равными». Как и отношение эквивалентности это парные отношения. Мы не будем определять, что означает слово «отношение» в математике, отметим лишь, что отношения встречаются повсюду. Например «быть сыном» - это отношение между сыном и его родителями. Нас будут интересовать свойства отношений, и, прежде всего, свойства отношения эквивалентности. Их три и они устанавливаются в следующих трех утверждениях:

1. А Û А " А – каждое утверждение эквивалентно самому себе (рефлексивность)

2. (А Û В) Þ (В Û А) – отношение эквивалентности взаимно, если А эквивалентно В, то и В эквивалентно А (симметричность)

3. ((А Û В) Ù (В Û С)) Þ (А Û С)– если А эквивалентно В, а В эквивалентно С, то А эквивалентно С (транзитивность т.е. переходность)

Из этих трех свойств вполне очевидно следует[26]:

4. ((А Û В) Ù (С Û В)) Þ (А Û С) - если два утверждения порознь эквивалентны некоему третьему, то они эквивалентны между собой.

Каждое отношение, обладающее указанными тремя свойствами, есть отношение эквивалентности и всякое отношение эквивалентности этими свойствами обладает. Т.е. эти три свойства можно было бы рассматривать как определение, тогда совпадение областей истинности оказалось бы свойством. Т.е. у нас здесь как и во многих случаях есть некий выбор: что принять за определение, а что рассматривать как характерные (критериальные) свойства – это не изменит результатов, но поменяется последовательность изложения материала.

Бросается в глаза, что мы уже знаем одно отношение эквивалентности – равенство, оно безусловно обладает всеми тремя свойствами. Рассмотрим и другие примеры.

Отношения «>»и «<» (отношения «больше» и «меньше») не являются отношениями эквивалентности, ибо они не обладают свойством 2, они не симметричны. Действительно из а > b отнюдь не следует, что b > а. По аналогичной причине не является отношением эквивалентности отношение «быть отцом» – если а для b отец, то b для а сын/дочь.

А вот отношение «быть родственником» - это отношение эквивалентности, если слово «родственник» понимать в изначальном смысле – родственники это члены одного рода. Тогда очевидно, в частности, что каждый является родственником самому себе.

Более того, мы сейчас покажем, что в определенном смысле «быть родственником», принадлежать одному роду (классу) и есть единственное возможное отношение эквивалентности – меняются только способы отнесения к одному роду.

Пусть некоторое множество K разбито на совокупность подмножеств { M_i }, причем выполнены два таких условия:

1.

объединение всех подмножеств M_i равно всему множеству K, что эквивалентно утверждению: каждый элемент из K включен хотя бы в одно подмножество из системы { M_i };

2. Æ

при i ¹ j подмножества M_i попарно не пересекаются, или, что то же самое, каждый элемент хÎ K включен только в одно из подмножеств M_i.

Такое разбиение исходного множества K на подмножества называется классификацией, подмножества M_i, на которые разбито множество K называются классами.

Очевидно, задание классификации автоматически определяет на множестве отношение эквивалентности: два элемента х,уÎ K эквивалентны тогда и только тогда, когда они попали в один класс M_i.

Справедливо и обратное – если на множестве задано некоторое отношение эквивалентности, оно порождает разбиение множества на классы. А именно: два элемента принадлежат одному классу тогда и только тогда, когда они связаны отношением эквивалентности, каждый класс есть подмножество эквивалентных друг другу элементов. Например, на множестве всех граждан страны введено отношение эквивалентности таким образом – два гражданина эквивалентны между собой, если они проживают в одном регионе (предполагается, что, каждый может указать только один адрес как свое постоянное место проживания, и гражданин страны может проживать постоянно только на ее территории). Легко проверить, что условия 1-3 выполнены, т.е. это действительно отношение эквивалентности. Такое отношение разбивает множество всех граждан на классы – класс образуют жители одного региона.

Таким образом задание на любом множестве отношения эквивалентности и разбиение множества на классы – по сути одна и та же операция. И как рассматривать ее результаты – с точки зрения отношений или с точки зрения разбиения множеств на подмножества – всего лишь вопрос удобства. Это вопрос о том, на каком языке – логических отношений или теории множеств нам удобно анализировать свои задачи.

Это вопрос выбора языка описания. Практика показывает, что для эффективной работы нужно владеть обоими языками и уметь осуществлять переход от одного к другому. Подобная ситуация типична при построении математических теорий.

Вот сейчас мы можем придать более точный смысл фразе «математика – абстрактная наука». Пусть у нас есть некоторое множество. Мы ввели на нем отношение эквивалентности и тем самым ввели классы эквивалентности. Теперь мы делаем следующий шаг – все эквивалентные элементы мы объявляем равными (т.е. с точки зрения следующей теории мы эти элементы не будем различать), тем самым каждый класс превратится в один элемент. Тем самым мы абстрагируемся от различий, которые изначально были присущи этим элементам. Если подумать, можно прийти к выводу, что все математические понятия сконструированы именно таким способом. Например, число 3(три) есть класс эквивалентности, в который включены все возможные наборы из трех элементов (все тройки предметов). Мы создаем число 3, абстрагируясь от всех реальных свойств предметов.

Так поступают не только в математике. Что такое валет червей? Представим себе все существующие в мире карточные колоды. Они различаются размером, рисунком материалом и т.п. А «валет червей» абстрактное понятие, это класс эквивалентности, куда включены все валеты червей, существующие в природе. Мы абстрагировались от их реальных свойств – и тогда останется идеальный элемент, содержащий только то общее, что присуще им всем – это и есть валет червей.

Т.е. хотя параграф и выглядит трудным, но на самом деле все люди прекрасно владеют этим механизмом – ведь так образованы ВСЕ СЛОВА. И можно дать такое определение – люди это существа умеющие генерировать абстрактные понятия путем отождествления классов эквивалентности, это будет не самое плохое определение людей как класса эквивалентности.

Упражнение 1.3. Попробуйте самостоятельно четко доказать, что разбиение множества на подмножества по принципу: в одно подмножество попадают все эквивалентные друг другу элементы, – всегда порождает классификацию, т.е. получившийся набор подмножеств всегда удовлетворяет условиям 1-3 из определения классификации.

[1] Обращайте внимание на шрифт!! Так для обозначения чисел используются греческие буквы или латинские, но если число обозначено латинский буквой то используется либо курсив либо жирный курсив гарнитуры таймс. Для обозначения векторо виспользуются латинские буквы - прямые жирные шрифта Arial

[2] Утверждение: M есть подмножество K эквивалентно утверждению: из того, что x принадлежит M следует, что x принадлежит K для всех x из M

[3] Пустое множество есть подмножество множества K для всех K

[4] напоминаем: I это множество всех целых чисел, соответственно n Î I читается просто как «целое n»

[5] Обратите внимание на использование различных (фигурных и прямых) скобок!

[6] Т.е. мы получим эквивалентное утверждение

[7] Площадь и центральные улицы в Лондоне.

[8] Выражаясь «по-учёному» можно сказать, что множество вещественных чисел не содержит делителей нуля, но для других множеств это не обязательно так, для матриц, например, уже не так.

[9] Пусть несократимая дробь и тогда p² = 2 q² тогда p - четное число, т.е. p = 2´а, p² = 4 а², 4 а² = 2 q², 2 а² = q², т.е. q – четное число. Мы предположили, что наша дробь несократимая и ее квадрат равен двум, а отсюда получили, что и числитель и знаменатель четные – т.е дробь сократимая. Т.е. не существет несократимой дроби (рационального числа) квадрат которого равен 2.

[10] Отметим, что между любыми двумя иррациональными числами лежит число рациональное, и рациональные и иррациональные числа образуют всюду плотное множество точек на числовой прямой – это означает, что любой интервал содержит как рациональные, так и иррациональные числа.

[11] Дадим словесную расшифровку этой записи: для всякого e>0 найдется такая точка х множества М, которая принадлежит e-окрестности точной верхней грани множества М.

[12] Здесь D – область определения функции f, а G - область ее значений.

[13] Проблема различения параметра и переменной попросту отпадает, если мы рассматриваем конкретный объект, например, конкретную прямую. В записи у = 2 х перепутать параметр и переменную попросту невозможно, т.к. у конкретного объекта параметр принимает конкретное значение (коэффициент при х равен двум) и записывается как число, в то время как переменные (у, х) остаются буквами.

[14] Чаще всего пишут просто «корень степени n», то, что имеется в виду арифметический корень обычно подразумевается по умолчанию, особенно для четных степеней.

[15] Важно!! Разумеется, рассматривая поведение отрицательных степеней х в окрестности нуля, мы исключаем из рассмотрения саму точку нуль – ведь в нуле все отрицательные степени не определены, на ноль делить нельзя! Т.е. предполагается, что при рассмотрении отрицательных степеней все окрестности нуля точку х =0 не содержат.

[16] Обратите внимание, что показаны значения функций в диапазоне значений аргументов (0,4; 1). Значения, отвечающие аргументам, более близким к нулю, не показаны, т.к. они очень большие и не поместились бы на грфике.

[17] Напомним, что в этом параграфе слов «больше» всюду означает «больше по абсолютной величине», а больший по абсолютной величине отрицательный показатель означает меньший показатель.

[18] При написании вида квадратичной и кубической форм были использованы числовые коэффициенты «2» и «3» перед произведениями переменных. Разумеется, числовые коэффициенты можно было бы и не ставить, т.к. мы пишем общий вид форм и используем буквенные коэффициенты b и c, а они могут принимать любые значения. Во многих книгах их и не ставят. Тем не менее, и запись с коэффициентами имеет свои преимущества. Только при этом нужно помнить, что если конкретная форма выглядит так: , то в ней коэффициент b равен двум, т.к. коэффициент перед ху записан нами в виде 2 b. Из условия 2 b = 4 получим b = 2.

[19] Разумеется, все сказанное относится к любому умножению на любую отрицательную величину, просто в этом случае на смену знака накладывается еще и обычное умножение.

[20] Напомним, что степень частного равна разности степеней делимого и делителя, а степень остатка всегда меньше степени делителя. Т.к. делитель x - a в нашем случае есть многочлен первой степени, то частное получится степени, а остаток - нулевой степени.

[21] Напомним: корень функции есть такое значение аргумента, при котором функция равна нулю.

[22] Разумеется, знак неравенства сохраняется исходный – т.е. он т акже может быть любым

[23] Здесь и всюду далее следует иметь в виду, что константа также является полиномом – только нулевой степени. Соответственно, всюду далее в роли одного или нескольких полиномов могут выступать константы.

[24] Разумеется, как и в случае полиномиальных неравенств, знак неравенства может быть любой.

[25] См. примечание 22!

[26] Т.к. из (В Û С) следует (СÛ В) и обратно, то получим, что (А Û В Ú В Û С) эквивалентно (АÛ В Ú СÛ В) и таким образом из свойства 3 выводится следствие 4

---

Дата добавления: 2015-07-11