Упражнение 2.6

Упростить выражения

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

2.3.3 Многочлены от одной переменной

Многочленом степени n от одной переменной называется функция:

P_n(x) = a_n x ⁿ + a_n x ⁿ + a_n x ⁿ + …+a₁ x ¹ + a₀

причем предполагается, что a_n ¹ 0,т.к. иначе P_n(x) не будет многочленом степени n.

Числа а₀, а₁, а₂ и т.д. называются коэффициентами многочлена, причем коэффициент с индексом k стоит перед k-й степенью аргумента х.

Так как коэффициент a_n всегда отличен от нуля, его можно вынести за скобки, разделив на него все коэффициенты многочлена. Тогда в скобках останется многочлен той же степени, но его старший коэффициент равен единице, такой многочлен называется приведенным. Поскольку операцию приведения можно выполнить всегда, в дальнейшем мы будем рассматривать приведенные многочлены, если противное не оговорено специально.

Деление многочлена на многочлен. Пусть у нас есть два многочлена, один степени n и второй степени k: P_n(x) и Q_k(x), причем n³k. Тогда мы всегда можем разделить первый многочлен на второй. Эта фраза означает следующее: для двух данных многочленов P_n(x) и Q_k(x) при условии, что n³k, всегда найдутся два многочлена S_n-k(x) и R_j(x) таких, что: P_n(x) = S_n-k(x) Q_k(x) + R_j(x).

Многочлен P_n(x) называется делимое, Q_k(x) - делитель, S_n-k(x) - частное и R_j(x) - остаток. Степень частного равна разности степеней делимого и делителя, а степень остатка всегда меньше степени делителя.

Понять, почему это так проще всего, рассмотрев, как происходит процесс деления. Эта процедура очень похожа на процедуру деления целых чисел. Мы делим старшую степень делимого на старшую степень делителя и вписываем результат справа, где обычно размещается частное. После этого умножаем найденную величину на делимое, найденное произведение пишем под делимым и вычитаем из делимого. Найденная разность - текущий остаток - рассматривается как новое делимое и весь процесс повторяется (см. схему на рис.18). Из самой процедуры ясно, что степень частного будет равна разности степеней делимого и делителя – ведь именно такая степень получится у нас в первом же такте деления. Степени всех остальных одночленов частного будут меньше, ведь степень каждого следующего текущего остатка будут меньше степени предыдущего как минимум на единицу. Всю последовательность действий можно представить следующим образом.

На первом такте получим: x ³ -5 x ² + 8 = x ² (x - 3) + (-2 x ² + 8)

Т.е. мы получили старшую степень частного, а именно x ², и первый текущий остаток (-2 x ² + 8). Поскольку степень остатка пока не меньше степени делителя, мы можем продолжить процедуру. После второго такта найдем, что x ³ -5 x ² + 8 = (x ² - 2 x) (x - 3) + (- 6 х + 8)

К частному добавилось одно слагаемое, а именно - 2 x, а степень остатка (- 6 х + 8) снизилась на единицу по сравнению с предыдущим остатком, но она все еще не меньше степени делителя, а значит можно продолжать деление. И наконец после третьего такта процедуры получим окончательный результат: x ³ -5 x ² + 8 = (x ² - 2 x - 6) (x - 3) + 10

Это окончательный результат, т.к. степень остатка равна нулю и она меньше степени делителя.

Видим, что после каждого очередного такта процедуры степень текущего остатка снижается на единицу. Рано или поздно, но степень текущего остатка станет меньше степени делителя. Это означает, что процедура деления завершена, т.е. мы нашли частное и остаток,

Из рассмотренного процесса деления вытекает, что всякий многочлен можно разделить на многочлен меньшей степени и всегда будет найдено представление: P_n(x) = S_n-k(x) Q_k(x) + R_j(x) - т.е. деление всегда однозначно выполнимо и степень остатка всегда будет меньше степени делимого.

Используя процедуру деления, мы можем получить важный результат.

Теорема Безу. Пусть многочлен P_n(x) имеет вещественный корень, равный a. Тогда многочлен P_n(x) делится на двучлен x - a без остатка:

P_n(x) = (x - a) Q_n-1(x)

Доказательство. Исходя из общей процедуры деления многочленов, при делении многочлена P_n(x) на двучлен x - a мы получим частное степени n-1 и остаток нулевой степени, т.е. константу R[20].

P_n(x) = (x - a) Q_n-1(x) + R

Приведенное равенство есть тождество, т.е. оно справедливо для любых значений аргумента. Воспользуемся теперь тем, что число a есть корень многочлена P_n(x) и рассмотрим в это равенство при x = a. Получим:

P_n(а) = (а - a) Q_n-1(а) + R

Однако P_n(а) = 0, т.к. число а есть корень многочлена[21] P_n(х). Отсюда следует: 0 = 0 Q_n-1(а) + R Þ 0 = R т.е. остаток равен нулю, а значит P_n(x) делится на двучлен x - a без остатка, что и требовалось доказать. Мы получили, что, если число a есть корень многочлена P_n(x), то имеет место представление: P_n(x) = (x - a) Q_n-1(x) ▄

Следствия из теоремы Безу.

1. Количество корней многочлена не может быть больше, чем его степень. В самом деле, пусть количество корней многочлена P_n(x) равно m. Обозначим эти корни: a ₁, a₂ … a_m. Тогда многочлен делится на каждый из двучленов x - a ₁, x - a₂, x - a ₃ и т.д. - просто в силу теоремы Безу. Но тогда он делится и на произведение всех этих двучленов - тут ситуация такая же, как с числами. Если число 180 делится на 2, на 3 и на 5, то оно делится и на их произведение: 180 = 2´3´5 ´6. Вполне аналогично

P_n(x) = (x - a ₁) (x - a ₂)... (x - a _m) Q_n-m(x)

Т.к. деление на один двучлен приводит к уменьшению степени частного на единицу, то деление на m двучленов приведет к снижению степени частного на m единиц, потому степень последнего сомножителя и равна n-m. Но степень частного не может быть меньше нуля, отсюда следует, что число корней исходного многочлена m не может быть больше его же степени n.

2. Всякий многочлен раскладывается на множители таким образом:

P_n(x) = (x - a ₁) (x - a ₂)... (x - a _m) Q_n-m(x)

Дата добавления: 2015-07-11