Причем a1, a2…am - все корни многочлена, а многочленQn-m(x) не имеет вещественных корней.

Если бы у него корни были, то он имел бы делители-двучлены. Такие делители многочлена Q_n-m(x) были бы делителями и исходного многочлена; а наличие дополнительных делителей-двучленов означало б и наличие неучтенных корней. Как нам известно, существуют многочлены, у которых вещественных корней нет, например х ² +2. При разложении на множители многочленов последними множителями оказываются либо такого типа многочлены, либо константы.

Кратные корни.

В процессе нахождения корней многочлена может случиться так, что мы получим два или более одинаковых корней, например у многочлена:

P₂(x) = (x - 3) (x - 3)= x ² – 6 х + 9

очевидно имеются два корня, равные трем. В этом случае мы говорим, что у многочлена есть корень кратности два. Аналогично можно ввести понятие о корне кратности три, четыре и т.д. Это значит, что вообще говоря разложение многочлена на множители имеет вид:

P_n(x) = (x - a ₁)^a (x - a ₂)^b... (x - a _j)^l Q_n-m(x)

Здесь a, b, …l – кратности корней a ₁, a ₂, … a _j соответственно, некоторые из них возможно равны единице, т.е. соответствующие корни простые.. Сомножитель Q_n-m(x) представляет многочлен, не имеющий вещественных корней (возможно он просто единица, т.е. исходный многочлен имеет ровно столько вещественных корней, какова его степень). Но в любом случае этот многочлен имеет четную степень, т.к. многочлен нечетной степени меняет знак на вещественной оси, а, значит, у него есть по крайней мере один корень. Степень этого многочлена равна исходной степени n минус сумма кратностей всех корней: m = a + b + …+ l.

2.3.4 Графики многочленов от одной переменной

Если мы нашли все корни многочлена, то не составляет большого труда нарисовать его график. В самом деле, мы знаем, что при очень больших значениях аргумента (на +¥) всякий приведенный многочлен принимает большие положительные значения. Далее, в каждом корне нечетной кратности он будет менять знак, а в корне четной кратности будет касаться оси Ох, но знака менять не будет. Более того, поведение всей кривой в непосредственной близости от корня будет непосредственно определяться кратностью корня. Дело тут в том, что тот сомножитель (x - a _m)^l общего выражения, который в данной точке обращается в нуль, в окрестности точки a _m меняется в тысячи раз, в то время как остальные сомножители изменяются незначительно. Действительно, если мы перемещаемся из точки 3,999 в точку 3,9999, то сомножитель (x - 4) изменится в 10 раз, в то время как сомножитель (x - 2) ² изменится на доли процента.

На рис.19 показано, как ведет себя график многочлена вблизи простого корня, а также вблизи корней кратности два и три. Если мы знаем, что на +¥ многочлен всегда большой и положительный и нарисуем фрагменты графика многочлена вблизи его корней (с учетом получающихся знаков), то нетрудно нарисовать график многочлена целиком, просто соединяя непрерывной линией получившиеся фрагменты.

В качестве примера на рис. 20 показан график многочлена шестой степени, имеющего корни кратности три, два и один. На рисунке хорошо видно, что вблизи корня кратности 3 (при х = 0,75) поведение общего графика очень похоже на поведение графика кубической параболы у = х ³ вблизи нуля. Правда, при этом следует учесть, что наш полином отличается от кубической параболы по знаку, т.е. ведет себя в нуле подобно графику функции у = (–1) х ³.

Двигаясь дальше вправо вдоль оси Ох, увидим, что поведение графика многочлена вблизи корня второго порядка (при х = 1,5) похоже на график квадратичной параболы, но также с учетом смены знака (напоминает график у = (–1) х ²).

Т.е. наш график действительно может служить иллюстрацией следующего факта. Пусть нам нужно рассмотреть график функции, которую можно представить в виде произведения двух сомножителей:

F(x) = φ(x) × r(x)

причем один из этих сомножителей φ(x) имеет корень при х = а, в то же время у другого сомножителя в этой точке корня нет. Тогда поведение графика произведения F(x) в окрестности точки а вполне определяется поведением графика φ(x), т.е. того из сомножителей, у которого при х = а корень имеется.

Таким образом, мы действительно получили способ рисовать графики полиномов. Для этого достаточно знать корни многочлена, нарисовать локальное поведение графика вблизи корней, учитывая кратность корня и знак.

Знак устанавливается при последовательном движении справа налево, при этом используется тот факт, что мы знаем: при больших положительных значениях x приведенный многочлен всегда положителен.

После того, как локальное поведение вблизи корней установлено, достаточно соединить полученные фрагменты плавной кривой.

Дата добавления: 2015-07-11