Некоторые приемы умножения целых чисел

1. Умножение на 5. Предполагается, что вы умеете быстро и уверенно делить на 2. Тогда вместо умножения на 5 лучше умножить на 10 и результат поделить на 2. Например: 367´5 = 3670: 2 = 1835

2. Умножение на 8 и 9. В большинстве случаев умножать на 9 крайне нерационально. Разумнее умножить на 10, после чего отнять первый сомножитель. Например: 123 ´ 9 = 1230 – 123 = 1107; таким образом, мы рассматриваем 9 как (10 – 1).

Понятно, что в той же идеологии рассматриваются умножения на 19, 29, 39 и т.п.

524 ´ 39 = 524 ´ (40 – 1) = 20960 – 524 = 20436.

Достаточно часто полезно поступать таким же образом при умножении на числа, заканчивающиеся на 8, пример: 86 ´ 18 = 86 ´ (20 – 2) = 1720 – 172 = 1720 – 200 + 28 = 1548

2.2.3 Сложение и вычитание дробей

При выполнении операций по сложению и умножению дробей следует придерживаться некоторых простых правил, которые помогут избежать ошибок при счете и сократят время счета.

1. Не следует вовлекать целые числа в операции с дробями. Если предстоит сложить два рациональных числа, причем у них есть целые части, следует складывать целые части отдельно, а дробные – отдельно. В худшем случае, если в результате сложения дробных частей получится неправильная дробь, придется увеличить целую часть суммы не единицу. Но обычно это целесообразнее перевода целых в неправильную дробь до сложения – при рекомендуемом подходе вы просто будете иметь дело с меньшими числами.

Например: 2¾ + 5½ = (2+5)() = 7()=7 = 8¼

При вычитании следует действовать в общем таким же образом, за исключением того случая, когда дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого; в последнем случае целесообразно перевести одну единицу вычитаемого в дробную часть.

Например: , здесь мы 1 т.е. отделили от 5 и перевели в дробную часть

Или несколько более сложный вариант, получающийся при вычитании:

Обратите внимание на действие, следующее за четвертым знаком «=». У нас дробная и целая части получились разных знаков. В таком случае нужно на единицу уменьшать целую часть результата – и мы в дробную часть вписываем , одновременно уменьшая на единицу целую часть, но уменьшая по абсолютной величине (т.к. мы по абсолютной величине уменьшали отрицательное число, то само число увеличилось – ведь -1 это больше, чем -2).

Впрочем, если для отрицательных результатов предложенная схема кажется вам слишком трудной, пользуйтесь привычной для вас схемой счета.

2. Главной трудностью при сложении и вычитании дробей является нахождение общего знаменателя. Конечно, можно просто перемножить знаменатели, полученный результат наверняка будет общим знаменателем. Недостаток этого метода в том, что при больших знаменателях он приводит к неоправданно сложным вычислениям. Можно конечно при сложении просто перемножать знаменатели, но умножение 36 на 48 – не самая приятная операция. В то время, как вполне очевидно, что 36 = 3´12, а 48 = 4´12, соответственно, вполне достаточно умножить первую дробь на 3, а вторую на 4.

Важное замечание!!

Если сложение дробей не есть окончательный ответ задачи, лучше умножение в знаменателе и вовсе не вычислять. Неочевидно, какие еще действия с дробью-ответом нам предстоят, а потому лучше оставить знаменатель частично разложенным на множители, т.е. оставить знаменатель в виде 48×3 или 36×4.

Для упрощения вычислений желательно найти самый малый из общих знаменателей, а для этого следует мысленно разложить на простые множители каждый из знаменателей.

Например 48 = 2 2 2 2 3, 36 = 2 2 3 3. Вполне очевидно, что у 36 не хватает двух двоек, или четверки, а у 48 одной тройки. Следовательно, общий знаменатель для 36 и 48 образуется присоединением одной тройки к 48 и составит 48´3 = 144

Или другой пример: 28 = 2 2 7, а 105 = 3 5 7. У 105 очевидно не хватает четверки, значит общий знаменатель 4´105 = 420 (но может умножать и не стоит, стоит оставить 4´105).

Чтобы приобрести навык разложения на множители, проделайте следующее упражнение.

Упражнение 2.5 Разложите на множители все числа от 1 до 82.

2.3 Вещественные числа

Мы кратко рассмотрели историю и свойства целых и рациональных чисел, мы установили, что множество рациональных чисел обеспечивает возможность решения любых уравнений с рациональными коэффициентами, но при выполнении обязательного условия – уравнения должны быть обязательно линейными, т.е. уравнениями первой степени. Уже древним грекам было известно, что очень простое квадратное уравнение х ² = 2 не имеет решений в классе рациональных чисел – нет такой несократимой дроби , чтобы ее квадрат равнялся двум целым.

Необходимость решать задачи, приводящие к квадратным уравнениям и уравнениям более высоких степеней, потребовала очередного расширения множества чисел – были введены вещественные (действительные, real) числа.

Если рациональные числа можно описать как периодические десятичные дроби, то вещественные числа можно определить как все десятичные дроби. При этом периодические дроби (рациональные) образуют подмножество вещественных чисел; непериодические десятичные дроби называются иррациональными числами. Таким образом вещественные числа есть объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

Именно вещественные числа будут главным числовым множеством, с которым мы будем иметь дело на протяжении всего курса высшей математики, и потому мы дадим аксиоматическое описание вещественных чисел.

2.3.1 Аксиомы вещественных чисел

Мы дадим аксиоматическое описание вещественных чисел. Множество R вещественных чисел будет описано как множество элементов, для которого аксиоматически определены две двухместных операции (действия) – сложение и умножение и одно отношение – отношение порядка (больше – меньше).

1. Аксиомы сложения. Каждой паре x,y элементов множества вещественных чисел R поставлен в соответствие элемент z из того же множества, называемый их суммой и обозначаемый x + y, причем выполнены следующие аксиомы:

1. (x + y) + z = x + (y + z) " x, y, z Î R (ассоциативность)

2. x + y = y + x " x, y,Î R (коммутативность)

3. $ 0Î R: x + 0 = x " x Î R (существование нуля)

4. " x Î R $ (– x)Î R: x + (– x) = 0(существование противоположного элемента)

2.3.2 Следствия из аксиом сложения

1 Единственность нуля. В множестве вещественных чисел существует лишь один нуль. Доказательство проведем от противного. Пусть в R существует два различных нуля, обозначим их 0₁ и 0₂ соответственно. Тогда, используя третью аксиому сложения, получим:

0₁ = 0₁ + 0₂ = 0₂ + 0₁ = 0₂

Таким образом, мы получили, что 0₁ = 0₂, а это противоречит нашему предположению о существовании двух различных нулей в R.

2. Единственность противоположного элемента. Для каждого x Î R в R существует единственный элемент, противоположный x Напомним, что числом, противоположным данному, мы называем число, которое в сумме с данным дает нуль: x + (– x) = 0. Четвертая аксиома сложения гарантирует, что такое число существует, а следствие, что такое число только одно для всех x Î R.

Упражнение 2.6 Постарайтесь доказать, что число, противоположное данному вещественному числу, всегда единственно

Сумма у + (– x) называется также разностью и записывается у – x.

3. Единственность решения аддитивного уравнения. Всякое уравнение вида a + x = b имеет и притом единственное вещественное решение при любых вещественных a и b, равное b +(– a).

Отметим, что согласно формулировке этого следствия нам нужно доказать две вещи: что решение есть и что оно единственно.

Просто подставив вместо неизвестного b +(– a), найдем, что b +(– a) есть решение. Далее, прибавив к обеим частям равенства (– a), получим, что если решение существует, оно равно b +(– a). В частности из того, что a + x = a, следует, что x = 0.

2.3.3 Аксиомы умножения.

Каждой паре x,y элементов множества вещественных чисел R поставлен в соответствие элемент z из того же множества, называемый их произведением и обозначаемый x × y (или xy, или x ´ y), причем выполнены следующие аксиомы:×

1. (xy) z = x (yz) " x, y, z Î R (ассоциативность)

2. xy = yx " x, y,Î R (коммутативность)

3. $ 1¹0, 1Î R: x ×1 = x " x Î R (существование единицы)

4. " (x Î R, x ¹0) $ (1/ x)Î R: x ´(1/ x) = 1(существование обратного элемента)

5. (x + y) z = xz + yz " x, y, z Î R (дистрибутивность)

Совокупность объектов, удовлетворяющих всем аксиомам сложения и умножения, называется числовым полем или просто полем. Сразу отметим – из приведенных аксиом непосредственно следует существование только двух элементов: нуля и единицы. Нетрудно показать, что поле, состоящее только из двух элементов, существует. Действительно

Таблица сложения Таблица умножения

Нетрудно убедиться, что все аксиомы сложения и умножения выполнены, т.е. вполне может существовать числовое множество, состоящее всего из двух элементов – единицы и нуля. Однако, если немного подумать, можно догадаться, что эти таблицы отражают свойства чисел, давно и хорошо известные. В связи с этим предлагается выполнить упражнение

Упражнение 2.7 Какие свойства целых чисел отражены в приведенных таблицах – т.е. какие классы целых чисел обозначены в них нулем и единицей? Постройте таблицы сложения и умножения для числового поля, содержащего 4 элемента: 0, 1, 2, 3.

2.3.3 Следствия из аксиом умножения

Первые три следствия аксиом умножения вполне аналогичны следствиям из аксиом сложения.

1. Единственность единицы. В множестве вещественных чисел существует лишь одна единица. Доказательство проведем от противного. Пусть в R существует две различных единицы, обозначим их 1₁ и 1₂ соответственно. Тогда, используя третью а затем вторую аксиому умножения, получим:

1₁ = 1₁ ´ 1₂ = 1₂ ´ 1₁ = 1₂

Таким образом, мы получили, что 1₁ = 1₂

2. Единственность обратного элемента. Для каждого ненулевого x Î R в R существует единственный элемент, обратный x Напомним, что числом, обратным данному, мы называем число, которое в произведении с данным дает единицу. Допустим, что у некоторого числа a есть два различных обратных элемента: b₁ и b₂. Тогда получим:

b₁ = b₁ ´ 1 = b₁ (a ´ b₂) = (b₁ ´ a)´ b₂ = 1´ b₂ = b₂

Т.е. мы получили, что b₁ = b₂, что и требовалось доказать (здесь использовано (b ´ a) = 1, т.к. b₁ и b₂ обратные к a элементы).

Элемент, обратный к числу a, обозначается . Элемент, обратный к произведению a ×b, равен произведению обратных элементов: . Произведение записывается в виде и называется частным (отношением) чисел a и b.

3. Единственность решения мультипликативного уравнения. Всякое уравнение вида a × x = b имеет и притом единственное вещественное решение при любых вещественных a ¹0 и b, равное .

Доказывается вполне аналогично соответствующему утверждению для мультипликативного уравнения. Просто подставив вместо неизвестного , найдем, что есть решение. Далее, умножив обе части равенства на , получим, что если решение существует, оно равно .

4. Для любого x Î R имеет место равенство: 0 × x = 0.

Действительно: 0 ´ x + x = 0 ´ x + 1 ´ x = (0+1) ´ x = 1 ´ x = x. Отсюда получаем: 0× x + x = x.

НО! уравнение у + x = x одно очевидное решение имеет, а именно у = 0. В силу единственности решения любого аддитивного уравнения отсюда получаем: уравнение 0× x + x = x имеет единственное решение: 0 × x = 0 для любого x Î R. Отсюда следует, что ноль не имеет обратного, т.к. равенство 0 ´ x = 1 невозможно (на ноль делить нельзя!).

С другой стороны, равенство xу = 0 и условие x ¹0 в силу единственности решения мультипликативного уравнения приводят к следствию: у = 0, т.е. если произведение двух сомножителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю. [8]

5. Для любого x Î R имеет место равенство:

(– x) = (–1)× x

Другими словами: противоположный элемент любого числа получается умножением этого числа на –1. Именно это дает нам право писать – x не указывая, что именно мы имеем в виду – элемент, противоположный x или результат умножения x на –1, мы можем писать – x именно потому, что эти два числа всегда совпадают.

6. При любых u ¹0, v ¹0 получим – правило сложения дробей. Действительно:

2.3.4 Аксиомы порядка.

Кроме операций сложения и умножения, вещественные числа обладают важным свойством – они упорядочены по величине. А именно: для каждых двух элементов x, y из R справедливо хотя бы одно (возможно, что и оба) из отношений: x £ yx меньше или равно y ) или y £ x со следующими свойствами:

1. x £ x " x Î R (рефлексивность) − всякое число меньше или равно самого себя

Заметим, что символ £ можно прочесть либо «меньше или равно», либо «не больше», потому эквивалентным прочтением аксиомы 1 будет: всякое число не больше самого себя

2. (x £ y Ù y £ x) Þ y = x " x, y,Î R

Если x не больше y и одновременно y не больше x то y = x при любых вещественных x и y.

3. (x £ y Ù y £ z) Þ x £ z " x, y, z Î R (транзитивность)

Если x не больше y и одновременно y не больше z, то и x не больше z при любых вещественных x, y, z

4. x £ y Þ x+ z £ y + z " x, y, z Î R

Словесное выражение этой аксиомы имеет вид: к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число; аналогичная формулировка, как известно, имеет место и для равенств. Напомним, что слово «можно» означает, что такое преобразование (прибавление одинаковых чисел к обеим частям равенства или неравенства) приводит к эквивалентному утверждению, или, другими словами, к утверждению с тем же множеством истинности

5. (0£ x Ù 0£ y) Þ 0£ xy

Если 0£ x, то число x называется неотрицательным, если при этом еще и x ≠ 0, то число x называется положительным. С учетом этого определения, аксиому 5 можно сформулировать так:

Произведение двух неотрицательных чисел есть число неотрицательное. Справедливо и аналогичное утверждение для положительных чисел: Произведение двух положительных чисел есть число положительное.

6. 0 £ 1 Нуль не больше единицы.

Отношение x £ y записывается также в виде y ³ x – это эквивалентные утверждения.

Отношение x £ y при условии x ¹ y записывается в виде x < y (x меньше y) или (y больше x).

Т.к. 0 ¹ 1, то из аксиомы 6 следует 0 < 1, соответственно, 1< 1+1. Отсюда следует, 1+1 есть число, не равное ни 0, ни 1. Это новое число!

Вот его мы и обозначаем 2.

Далее аналогично получаем 2+1 > 2 Þ 2+1 ¹ 2, полагаем 2+1 = 3 и т.д. Таким образом, только аксиомы порядка обеспечивают нам неограниченность ряда целых чисел.

Числа 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1 – т. е. числа, которые получаются из единицы путем последовательного прибавления единицы к уже полученному числу некоторое число раз называются натуральными.

В силу аксиомы 6 все эти числа различны, т.к. n + 1 > n. Т.е. множество натуральных чисел содержит бесконечное множество элементов, при этом среди них нет наибольшего: для каждого натурального числа есть числа большие его, и притом таких чисел − тоже бесконечно много!

Между прочим, в силу аксиом сложения у каждого натурального числа есть противоположный ему элемент, т.е. такой, что x + (– x) = 0. Обратим внимание, что всякое число, противоположное положительному числу, заведомо меньше нуля, ( сумма двух чисел больше нуля была бы тоже больше нуля ); числа, меньшие нуля называются отрицательными – и вполне очевидно, что для всякого отрицательного числа существует другое отрицательное число, которое его меньше – т.е. отрицательных чисел тоже бесконечно много.

Объединение нуля, множества всех натуральных чисел и множества всех отрицательных чисел называется множеством целых чисел. Отношения двух целых чисел называются рациональными числами. Следовательно, все ранее приведенные аксиомы позволяют построить множество рациональных чисел.

2.3.5 Следствия из аксиом порядка

1. Связи аксиом порядка с операцией сложения.

а) Если x £ y, y £ z и x = z то x = y = z

б) (x £ y Ù y < z) Þ x < z аналогично (x < y Ù y £ z) Þ x < z

в) Следующие отношения эквивалентны:

(x £ y) Û (0 £ у – х) Û (–у £ –х) Û (x – y £ 0).

Также эквивалентны отношения:

(x < y) Û (0 < у – х) Û (–у < –х) Û (x – y < 0)

г) x < y Û x + z < y + z к обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же (любое) число

Правила в)-г) очень важны, они позволяют производить эквивалентные преобразования при решении неравенств.

2. Связи аксиом порядка с операцией умножения.

а) (0< x Ù 0< y) Þ (0< xy) " x, y,Î R – произведение положительных чисел есть число положительное

б) (x £ y Ù 0< z) Û xz £ уz точно так же (x < y Ù 0< z) Û xz < уz оба этих утверждения можно резюмировать так: обе части неравенства(строгого или нестрогого – безразлично) можно умножить на одно и то же положительное число, при этом получим неравенство, эквивалентное исходному

в) (0£ x £ y Ù 0< z £ и) Û xz £ уz £ уи можно перемножать нестрогие неравенства, если в них входят только неотрицательные числа, вполне аналогично: можно перемножать строгие неравенства, если в них входят только положительные числа

г) в частности, при х > 1, получим х² > х, а при 0< х <1 получим х² < х.

д) если х > 0, то также 1/ х > 0, а из 0 < х < у, следует 1/ у < 1/ х

3. Максимум, минимум, модуль

а) Если x £ y, то пишут, что

x= min{ x,y },или y= max{ x,y },

при этом x называется минимумом пары чисел x,y, соответственно y максимумом пары чисел x,y.

Aаналогично можно определить min{ x₁, x₂, … x_n }иmax{ x₁, x₂,… x_n }, для любого конечного набора чисел { x₁, x₂, … x_n }, т. е. x_i =min{ x₁, … x_n } если x_i £ x_k " k:1 £ k £ n (т.е. x_i не больше любого x_k из всего набора).

б)Максимальное число из пары { x,– x } называется модуль x: ï x ï = max{ x,– x }, заметим, что если x число отрицательное, то модуль x равен – x.

Модуль обладает такими свойствами:

" а > 0 справедлива эквивалентность неравенств (ï x ï £ а) Û (–а £ x £ а)

ï x₁ + x₂ +…+ x_n ï £ ï x₁ ï+ ï x₂ ï+...ï x_n ï – модуль суммы не больше суммы модулей.

ï x×у ï = ï x ïï у ï – модуль произведения равен произведению модулей.

2.3.6 Аксиома о точной верхней грани и ее следствия

Кроме аксиом, описывающих свойства отношения порядка для чисел, нам понадобится еще и аксиома, связанная с этим отношением для множеств. Сначала введем определение.

Множество M Ì R называется ограниченным сверху, если существует число t Î R такое, что x £ t для всех x Î M, мы этот факт будем также записывать в виде M £ t.

Всякое число t Î R, обладающее по отношению к множеству M таким свойством мы будем называть верхней гранью множества M.

Наименьшая из всех верхних граней множества M называется точнойверхней гранью множества M и обозначается sup M (читается супремум M)

В точной записи: (t = sup M Ù M £ z) Þ t £ z

Аксиома о точной верхней грани. Всякое ограниченное сверху множество M Ì R обладает точной верхней гранью.

Можно ввести вполне аналогичные определения для множеств, ограниченных снизу.

Множество M Ì R называется ограниченным снизу, если существует число t Î R такое, что x ³ t (или же t £ x) для всех x Î M, мы этот факт будем также записывать в виде M ³ t, или же t £ M.

Всякое число t Î R, обладающее по отношению к множеству M таким свойством мы будем называть нижней гранью множества M.

Наибольшая из всех верхних граней множества M называется точнойнижней гранью множества M и обозначается inf M (читается инфинум M)

В точной записи: (t = inf M Ù M ³ z) Þ t ³ z.

Всякое ограниченное снизу множество M Ì R обладает точной нижней гранью.

Отметим, что именно аксиома о точной верхней грани позволяет ввести иррациональные числа. Все аксиомы, введенные ранее, гарантировали существование только рациональных чисел (целых и их отношений). Однако еще древние греки доказали, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум[9]. Теперь мы можем утверждать, что такое число существует. Рассмотрим множество всех положительных чисел, квадрат которых не больше двух. Это множество ограничено сверху (например, очевидно, что все его элементы меньше двух) и, следовательно, имеет точную верхнюю грань.

Квадрат этой точной верхней грани не может быть больше двух (почему?) и не может быть меньше двух (почему?). Следовательно квадрат этой точной верхней грани равен двум.

В то же время, эта точная верхняя грань не может быть рациональным числом. Значит в силу аксиомы о точной верхней грани существуют вещественные числа, которые не являются рациональными, это иррациональные числа = бесконечные непериодические десятичные дроби.

Выражаясь образно, можно сказать, что множество рациональных чисел «дырявое» – между любыми двумя рациональными числами лежит иррациональное число,[10] именно аксиома о точной верхней грани позволяет «заткнуть дыры» и утверждать, что множество вещественных чисел образует вещественную числовую прямую.

Последнее утверждение имеет следующий смысл. Возьмем любую прямую, выберем на ней любую точку и обозначим ее 0. Это значит, что мы этой точке ставим в соответствие число 0. Теперь выберем любую другую точку и обозначим ее 1. После этого между множеством точек на прямой и множеством вещественных чисел установлено взаимно однозначное соответствие: каждому числу соответствует одна и только одна точка, каждой точке соответствует одно и только одно число. Именно установление такого соответствия и превращает нашу прямую в числовую прямую.

Обратим внимание на еще одно свойство точной верхней грани. Для этого нам понадобится еще одно важное понятие, оно будет играть очень важную роль в теории пределов и непрерывных функций. Интервал с центром в точке и радиуса e назовем e-окрестностью точки x₀, такая окрестность обозначается u(x₀,e). Очевидно, что e-окрестности принадлежат те и только те точки числовой прямой, которые отстоят от точки не далее, чем на e (на языке чисел – те и только те числа х, для которых справедливо неравенство ïх – х₀ï<e)

Введенное определение окрестности позволяет сформулировать еще одно важное свойство точной верхней грани: любая окрестность точной верхней грани множества M содержит хотя бы одну точку множества M. Запишем это свойство на языке кванторов: "e>0 $ x Î M: x Î u(sup M, e) [11]. Так, и для отрезка [0,1] и для интервала (0,1) число 1 является точной верхней гранью, но в первом случае она принадлежит множеству, а во втором случае не принадлежит. Однако в обоих случаях любая окрестность, даже самая маленькая, точки 1 обязательно содержит точки промежутка (0,1).

Отметим, что это свойство (любая окрестность содержит точку множества) есть характеристическое свойство точной грани. Т.к. если число является верхней гранью множества, но не является точной верхней гранью, то у такого числа всегда найдется такая маленькая окрестность, что она точек множества уже не содержит.

Это легко понять на простом примере. В качестве множества рассмотрим опять интервал (0,1), число 1,0 его точная верхняя грань.

Возьмем верхнюю грань очень близко к точной верхней грани, например число 1,01. Это верхняя грань, но не точная. Если взять окрестность точки 1,01 радиуса 0,005, то в такой окрестности точек интервала (0,1) уже очевидно не будет, т.к. в нее попадают точки от 1, 005 до 1, 015, а точек меньше чем 1 в этой окрестности нет.

2.3.7 Степени и корни

По определению при натуральном n xⁿ = x×x×…x n раз умножить х на х. Из определения очевидно xⁿ×x^k = x^n+k и (xⁿ) ^k = x^nk при умножении одинаковых множителей степени складываются, а при возведении в степень показатели умножаются. Введенное определение степеней для натуральных показателей легко распространить на любые целые показатели. Для этого положим х⁰ = 1 и 1/ х = х ^-1 для любого х ¹0, легко убедиться, что при этом правила сложения и умножения показателей сохраняются.

Однако для введения рациональных показателей уже не обойтись без аксиомы о точной верхней грани. Именно из этой аксиомы следует теорема

Теорема. Для любого х >0 существует и притом единственное у >0, такое, что уⁿ = х.

Это число обозначается и называется корнем n-й степени из х

Таким образом, теорема гарантирует нам существование и единственность положительного корня n-й степени из всякого положительного числа. По определению корня уⁿ = х, значит В силу правила умножения степеней . Получается, что n-я степень от корня n-й степени и n-я степень от х в степени 1/n совпадают. Отсюда получаем, что , т.е. что корень n-й степени и степень 1/n для любого положительного числа совпадают. Введя таким образом дробные степени, получаем наличие любых рациональных степеней для положительных чисел. На иррациональные показатели можно распространить степени уже по непрерывности, при этом правила сложения и умножения степеней (а также обратных действий – деления и вычитания) сохраняются для любых положительных оснований – при умножении степеней одного основания показатели складываются, а при делении показатели вычитаются. При возведении в степень показатели умножаются, при этом в качестве показателей можно использовать любые вещественные числа, однако в качестве оснований можно использовать лишь положительные числа.

II. функции

1. Определение и основные понятия

1.1 Соответствия

Темой этого раздела будет описание различных способов, которыми можно установить соответствие между элементами двух множеств. Такое понятие как «соответствие» относится к числу первичных, т.е. определить его нельзя, но можно с помощью примеров дать о нем некое представление. Хотя главным образом нас будут интересовать соответствия между числовыми множествами, но в принципе это совсем не обязательно, а нечисловые примеры бывают более понятны и наглядны, и потому мы будем их использовать.

Итак, мы предполагаем, что у нас есть два множества, множество Х, состоящее из элементов х (X ' x), и множество Y, состоящее из элементов y (Y ' y). О природе этих множеств нам пока ничего не известно, но можно, например, представлять себе дело таким образом, что первое множество – это зрители в театре, а второе множество – множество кресел в зрительном зале. Мы говорим, что между элементами множества Х и множества Y установлено соответствие, если некоторым элементам первого множества (может быть, каждому) поставлен в соответствие хотя бы один (может быть несколько) из элементов второго множества. Например, зрители собрались пока в фойе, при этом есть зрители у которых билеты уже есть, и, возможно, есть зрители, у которых билетов нету, причем вариант наличия нескольких билетов у одного зрителя не исключен, как, впрочем, не исключено, что на одно место продано несколько билетов. Не исключено также, что есть места, на которые не продано ни одного билета – возможны все варианты. Тем не менее, соответствие «зрители – места» уже установлено (установлено с точки зрения математики, у зрителей и администрации может быть и иной взгляд).

Если соответствие установлено, то множество Х называется множеством прообразов (множество откуда), а множество Y – множеством образов (множество куда). Если элементу x₁ Î X поставлен в соответствие элемент y₅ Î Y, то y₅называется образомx₁, а x₁называется прообразомy₅ (если зритель Иванов обладает билетом на 36-е место, то при отображении «зрители –® места» Иванов есть прообраз 36 места, а 36 место есть образ Иванова).

1.2 Функция, отображение, оператор

Нас будут прежде всего интересовать однозначные соответствия. Соответствие называется однозначным, если каждый элемент имеет не более, чем один образ.

Однозначное соответствие называется отображением; термины функция и оператор формально имеют абсолютно такой же смысл – это однозначные отображения.

Отступление о терминах. Конечно, кажется странным, почему для одного понятия введены три разных термина. Отчасти это объясняется историческими причинами, но есть и некоторые различия в употреблении этих терминов. Так, слово «функция» применяют обычно к отображениям числовых множеств, несколько реже – к точечным множествам и матрицам, в то время как «отображение» обычно относится к множествам неопределенной (любой) природы, а также к тем случаям, когда соответствию можно придать характер «картинки». Ну а в термине «оператор» подчеркивается его процедурный характер, т.е. описание соответствия носит характер описания действия (операции). Следуя указанному соответствие «зрители – места», которое мы описали выше, можно трактовать как отображение, реже в подобных ситуациях используется термин «функция», но вот термин «оператор» в подобных ситуациях обычно не используется. Таким образом, эти слова имеют формально одинаковый смысл, но вызывают у людей разные ассоциации, апеллируют к разным образным рядам. Все эти достаточно тонкие различия лучше осознаются в процессе их применения. А пока нам важно запомнить, что, строго говоря, слова функция, отображение и оператор есть синонимы.

Есть еще две важных терминологических тонкости, о которых нужно помнить, когда речь идет об отображениях – это различное понимание предлогов «на» и «в». Когда отображение распространяется на все элементы множества, употребляется предлог «на», а если лишь на некоторые, то употребляется предлог «в»; иногда «в» применяют в ситуации неопределенной, т.е. когда точно не известно, распространяется отображение на все элементы множества, или имеются исключения.

Так, если написано: «на множестве Х определена функция» это следует понимать так, что всякий x Î X имеет образ, а если сказано: «функция определяет отображение множества X во множество Y», то это значит, что, вообще говоря, не всякий y Î Y имеет прообраз.

Разумеется, при использовании функциональной терминологии термин «прообраз» вполне аналогичен по смыслу термину «аргумент», а термин «образ» аналогичен термину «значение функции». Однако, если вы попробуете перечитать этот пункт мысленно осуществляя такую подстановку терминов, вы оцените, насколько удобно пользоваться терминами «прообраз – образ» вместо терминов «аргумент – значение».

Пусть нам задано отображение (функция, оператор) f, отображающее множество X во множество Y, такая ситуация часто изображается так: y = f (x), или x y. Совокупность тех x Î X, для которых задано (определено) значение функции f (x) (отображения, оператора), называется областью определения функции f, т.е. это совокупность элементов, у которых есть образы. Совокупность тех y Î Y, у которых есть прообразы в Х, называется областью значений функции (отображения, оператора).

Если мы обозначим область определения D, а область значений G, то с помощью кванторов их определения можно записать таким образом:

D = { x Î X: ($ y Î Y: y=f(x))} G = { y Î Y: ($ x Î X: f(x)=y)}

При этом разумеется, D Í Х, G Í Y.

Разумеется, следует иметь в виду, что области определения и области значений функции могут принадлежать совершенно разным множествам, «школьная» ситуация, когда и область определения, и область значений принадлежат вещественной прямой, совершенно не является обязательной. Так, в уже рассмотренном нами примере со зрителями и местами область определения функции это множество зрителей, купивших билеты, а множество значений – это множество мест, на которые были проданы билеты. Для того, чтобы соответствие «зрители – места» можно было рассматривать как функцию, необходимо и достаточно, чтобы у каждого человека был только один билет. При этом если проданы все билеты, мы будем говорить, что это отображение множества зрителей на множество мест, а если остались свободные места, то это отображение в множество мест.

Отображение y = f (x) называется взаимно однозначным, если не только каждый элемент из D имеет не более, чем один образ, но и каждый элемент из G имеет не более, чем один прообраз[12].

Это утверждение можно сформулировать и иначе: если прообразы различны, то и образы различны. Т.е. из того, что x₁, x₂ Î D, x₁ ¹ x₂ следует f(x₁) ¹ f(x₂) для всех элементов из D. В самом деле, если разные прообразы имеют и различные образы, то невозможно, чтобы какой-нибудь элемент из области значений имел более одного прообраза. При взаимно однозначном соответствии различным аргументам соответствуют различные значения, но и обратно – два различных значения функции могут получаться только при двух различных значениях функции.

Эта симметрия между областью определения и областью значений позволяет при наличии прямого отображения (функции) построить и обратное отображение (обратную функцию).

Разумеется, если прямая функция определена в Х и принимает значения в Y, то обратная функция будет определена в Y со значениями в Х (или мы могли бы сказать, что если прямая функция определена на D со значениями в G, то обратная определена на G со значениями в D).

В этом случае на G можно определить функцию со значениями в D, которая каждому y Î G ставит в соответствие его (единственный!) прообраз в D, такая функция называется обратной функцией (обратным оператором, обратным отображением) и обозначается f ^-1 (y)

Обратите внимание, что у прямой и обратной функции области определения и области значений меняются местами. В примере со зрителями и местами обратное отображение существует, если на каждое место продано не более одного билета. Тогда на множестве занятых мест можно определить обратную функцию, которая каждому занятому месту ставит в соответствие зрителя, который купил билет на это место.

Так, например, для функции sin (x) областью определения является вся прямая, а областью значений отрезок [–1, 1]. Построить обратную функцию к sin (x) вообще говоря, нельзя, т.к. синус повторяет свои значения. Но если ограничить область определения только отрезком [–p, p], то построение обратной функции окажется возможным, такая функция называется arcsin (x). Областью определения для arcsin (x) является отрезок [–1, 1], а областью значений становится отрезок [–p, p], который у прямой функции был областью определения. При этом в пределах области определения каждой из функций справедливы основные соотношения для прямой и обратной функций: arcsin (sinx) = sin (arcsinx) = x

1.3 Вещественнозначные функции вещественной переменной

Это функции, у которых и область определения, и область значений являются подмножествами множества вещественных чисел R; именно такими являются функции sin (x) и arcsin (x), рассмотренные в последнем примере. Для краткости такие функции часто называют просто вещественными функциями.

1.3.1 Графики вещественных функций

Координаты на плоскости. Мы уже установили, что если мы выбрали на прямой начало, масштаб и направление, тем самым мы превратили ее в числовую прямую, т.е установили взаимно однозначное соответствие между точками прямой и множеством вещественных чисел. Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярных прямых – одну горизонтальную и одну вертикальную (см. рис.9). На обеих зададим масштаб, в качестве общего начала выберем точку пересечения прямых и, по традиции, в качестве положительного направления для горизонтальной прямой выберем направление вправо, а для вертикальной – направление вверх. Горизонтальную прямую назовем осью Ох, а вертикальную – осью Оу. Мы получили стандартную систему координат на плоскости. Последнее означает, что между всеми точками плоскости и парами чисел (х,у) установлено взаимно однозначное соответствие. Чтобы найти точку М, соответствующую данной паре чисел (возьмем, для примера пару (3, –2)) следует проделать следующие процедуры:

- отложить на оси Ох число 3 и на оси Оу число –2

- из получившихся двух точек на осях провести перпендикуляры к каждой из осей

- точка пересечения этих перпендикуляров и есть точка плоскости М, соответствующая числовой паре (3, –2), при этом первое число пары называется х -координатой, а второе число пары у -координатой точки М.

Отметим также, что оси координат делят плоскость на четыре части, их называют четверти или квадранты. Первая четверть (первый квадрант) расположена справа вверху, дальше четверти нумеруются против часовой стрелки.

График функции. Одним из важных средств описания и изучения функций одной переменной является график. Пусть нам дана некоторая функция f (x). Рассмотрим равенство y = f (x), как у любого равенства, и у этого равенства есть свое множество истинности. Его образуют те пары чисел (х,у), которые удовлетворяют уравнению y = f (x). Но каждой паре чисел соответствует точка на плоскости. Совокупность всех таких точек, или, что то же самое, совокупность всех пар (х, f (x) для всех х из области определения функции f (x) и образует график функции. Т.е. если функция задана, то для любого значения аргумента х из области определения мы можем вычислить соответствующее значение функции f (x); рассматривая значение аргумента как х -координату, а значение функции при данном аргументе как у -координату, мы можем построить точку на плоскости. Совокупность всех таких точек для всех из области определения и образует график.

Обратим внимание на следующие важные факты:

а) Мы описали, как для заданной функции можно построить ее график. Однако выполнима и обратная процедура: если мы располагаем графиком, то мы можем считать, что функция нам дана, т.е. для всякого значения х из области определения мы можем найти значение f (x). А именно, при наличии графика отображение x y устанавливается с помощью такой процедуры:

- выбираем значение х из области определения

- из точки х восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с графиком

- из полученной точки проводим горизонталь до пересечения с осью Оу. Значение у, найденное таким образом и есть значение функции в точке х. Так, на рис.9 с помощью графика легко установить, что f (3) = -2. Разумеется, при задании функции с помощью графика область определения функции есть проекция графика на ось Ох, а область значений есть проекция графика на ось Оу.

б) График функции есть линия на плоскости, однако далеко не всякая линия может быть графиком некоторой функции. Дело в том, что в определении функции содержится, по существу, единственное требование – однозначность. Т.е. одному значению х может соответствовать не более одного значения у. Говоря точно, если величина х принадлежит области определения функции D, то ей соответствует ровно одно значение у, а если х не принадлежит D – то ни одного. Тогда из описанной выше процедуры восстановления функции по ее графику немедленно получается, что ни одна вертикальная прямая не может пересекать график более чем в одной точке. Действительно, если вертикальная прямая пересечет график в двух точках, мы получим, что одному значению аргумента х соответствуют два различных значениях функции (вертикальная прямая пересекла график в двух точках, они находятся на различной «высоте» относительно оси Ох, и следовательно, задают два различных значения у - два различных значения функции). Таким образом, графиком функции может быть лишь такая линия, которую любая вертикаль пересекает не более, чем один раз. Так, например, окружность не может быть графиком никакой функции, т.к. многие вертикали пересекают ее дважды.

в) Как уже было указано ранее, при переходе от прямой функции к обратной меняются местами область определения и область значений, а на графике меняются местами оси. Поэтому функция будет иметь обратную тогда и только тогда, когда любая горизонталь пересекает ее график не более, чем в одной точке, ведь для графика обратной функции горизонтали и вертикали поменяются местами. По этой же причине графики прямой и обратной функции всегда симметричны относительно биссектрисы первого квадранта (первой четверти), действительно, ведь преобразование симметрии относительно биссектрисы первого координатного угла меняет местами оси Ох и Оу, а значит меняет местами графики прямой и обратной функций. Остается напомнить, что биссектрисой первого координатного угла является график функции у = х (см. рис. 10). Поэтому если графики прямой и обратной функции имеют общую точку (пересекаются), то эта общая точка непременно лежит на линии у = х.

1.3.2 Свойства вещественных функций

Для вещественных функций – а именно они будут нашим главным объектом изучения – можно определить еще ряд важных свойств.

---

Дата добавления: 2015-07-11