Два утверждения называются эквивалентными, если совпадают их множества истинности.

А решить уравнение (неравенство, систему)как раз и означает найти его множество истинности.

1.2.2 Что означает слово «можно»?

Обычная процедура решения уравнений сводится к выполнению некоторых действий, упрощающих вид наших уравнений. Но целью является нахождения множества истинности нашей задачи. Поэтому мы можем с исходными системами делать не все, что нам хотелось бы. Допустимыми являются только такие преобразования исходной задачи, которые не изменяют ее множества истинности. В противном случае мы получим «лишние» решения – если в процессе преобразований множество истинности расширилось, или «потеряем» некоторые решения – если в процессе преобразований множество истинности сузилось.

Отсюда вытекает необходимость установить – какие преобразования можно выполнять с уравнениями и неравенствами так, чтобы их множеств истинности не менялось.

Два утверждения называются эквивалентными, если совпадают их множества истинности.

Преобразование задачи называется допустимым, если оно не изменяет множества истинности задачи (приводит к эквивалентному утверждению).

Именно такой смысл имеет в математике слово «можно». Когда математик пишет: «К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число» это означает, что после выполнения указанной процедуры мы получим неравенство с точно таким же множеством истинности, какое было у исходного неравенства[6].

1.2.3 Логические операции. Логические «и» и логическое «или».

Так же, как и в случае числовых величин, из логических величин (утверждений) можно формировать логические выражения. Если в случае чисел для формирования выражений мы пользуемся алгебраическими действиями сложения и умножения, то при формировании логических выражений мы пользуемся логическими действиями «или» и «и». Алгебраические операции обозначаются символами «+» и «´», соответственно логические операции обозначаются символами «Ú» и «Ù». Разъясним смысл логических операций.

Логическое выражение А Ú В (А или В) принимает значение «истина» для всех случаев, когда истинна хотя бы одна из входящих в выражение величин. Можно это описать и таким образом А Ú В = «ложь» тогда и только тогда, когда и А = «ложь» и В = «ложь» одновременно.

Геометрически это означает, что множество истинности выражения А Ú В (А или В) есть объединение множеств истинности обоих высказываний (обратите внимание на сходство символов «Ú» и «»)

Рассмотрим теперь ситуацию для логического умножения – операции «логическое и». Логическое выражение А Ù В (А и В) принимает значение «истина» для всех случаев, когда обе входящие в выражение логические величины истинны одновременно и только для таких случаев.

Геометрически это означает, что множество истинности выражения А Ù В (А и В) есть пересечение (общая часть) множеств истинности обоих высказываний (обратите внимание на сходство символов «Ù» и «») – ведь для истинности выражения необходимо, чтобы оба высказывания А и В были истинны одновременно.

Упражнение 1.3 Попробуйте записать с помощью кванторов следующие утверждения:

1. Квадрат любого вещественного числа, не равного нулю, есть число положительное.

2. Из каждого положительного числа можно извлечь квадратный корень.

3. Целое число n делится на 6, не используя символ «6»

4. Английскую поговорку: «Всё, что не Трафальгар-сквер, есть Стрэнд или Пикадилли»[7]

1.2.4 Логические операции. Отрицание (логическое «не»)

Есть еще одна важная логическая операция, ее алгебраическим аналогом является изменение знака выражения, – это операция «не», логическое отрицание (символом операции «не» является «Ø») Т.е отрицанием утверждения А является ØА, «не А». По определению утверждение ØА истинно тогда и только тогда, когда утверждение А ложно и наоборот, там, где А истинно, там ØА непременно ложно.

Посмотрим теперь на смысл операции «не» с точки зрения множества истинности высказываний. При этом следует иметь в виду, что мы всегда проводим свои рассуждения в некотором множестве допустимых значений: множество всех чисел, всех треугольников, всех возможных событий и т.п. Такое множество всех возможных значений, для которых наши высказывания имеют смысл, мы будем обозначать символом Е. Тогда множество истинности для высказывания «не А» образуют все те элементы Е, которые в А не попали, естественно ввести обозначение ØА = Е – А.

Очевидным образом, получим для операции «не» следующие свойства:

ØА Ú А = Е

ØА Ù А = Æ

Т.е. высказывание «А или не А» всегда истинно, а «А и не А» всегда ложно.

Действительно, человек, пьющий только в двух житейских ситуациях: или когда есть кислая капуста на закуску, или когда ее нет, пьет всегда (высказывание всегда истинно).

Важное замечание!! В обыденной речи союз «и» часто употребляется там, где с точки зрения логических операций должно стоять «или»; типичный случай такого употребления доставляют нам перечисления. Фраза «Мебель это столы и стулья, и шкафы» формально записывается так: { Мебель }={ столы } { стулья } { шкафы }, или на языке утверждений: (x Î{ Мебель })=(x Î{ столы })Ú(x Î{ стулья })Ú(x Î{ шкафы }). Вполне очевидно, что употреблению союза «и» в этом тексте соответствует логическое «или» – Ú. Обнаружить это можно, заменяя в тексте «и» на «или» – если смысл при этом не меняется, значит мы столкнулись именно с такого рода употреблением слова «и». Ясно, что в разбираемой фразе такая замена допустима, так же как в фразе о кислой капусте можно произвести обратную замену с полным сохранением смысла «он пьет только в двух житейских ситуациях: когда есть кислая капуста на закуску и когда ее нет» – здесь мы конструкцию «или...или» заменили на «и» – в обычном языке смысл абсолютно не изменился. Следовательно, анализируя фразы обычного языка, всегда нужно отслеживать мерцание смысла «и – или».▄

Известно, как много доказательств в математике начинаются словами «Допустим противное. Пускай...» – далее формулируется утверждение, противоположное утверждению теоремы, и доказывается, что оно не соответствует действительности. Но чтобы воспользоваться такой схемой нужно уметь формулировать утверждение, противоположное утверждению теоремы. А это не всегда выглядит такой уж простой задачей.

Однако применительно к формализованной записи утверждений можно руководствоваться при формулировке отрицания следующими правилами:

- все, каждый, " меняется на существует, $

- существует, $ меняется на все, каждый, "

- или, Ú меняется на и, Ù

- и, Ù меняется на или, Ú

- утверждение меняется на отрицание

Приведем некоторые примеры:

Утверждение	Отрицание
Сумма углов любоготреугольника равна двум прямым	Существует треугольник, сумма углов которого не равна двум прямым
При любых значениях n > 2 не существует целых положительных x,y, z для которых равенство x^n + y^n = z^n было бы справедливым (Великая теорема Ферма).	Существует n > 2 такое, что найдутся (существуют) целые положительные x,y, z для которых равенство x^n + y^n = z^n будет выполнено
Все принятые на работу секретарши либо очень компетентны, либоблондинки	Среди принятых на работу секретарш найдется (существует) такая, что она не компетентна ине блондинка («или» заменено на «и», «все» на «существует»).
Все девушки, удачно вышедшие замуж, красавицы и умницы	Среди девушек, удачно вышедших замуж, найдется хотя бы одна такая, что она некрасива или неумна («и» заменено на «или», «все» на «существует»).

Как видим, приведенный нами набор правил сильно упрощает ситуацию, позволяя превратить построение отрицания к данному утверждению в процедуру почти формальную (если формулировка записана в кванторах, то процедура вполне формальна, и с ней прекрасно справляются компьютеры).

1.2.5 Необходимо и достаточно, влечет и следует

В формулировках теорем слова «необходимо», «достаточно», «следует» встречаются очень часто. Попробуем разобраться, как они связаны между собой и как они выглядят с точки зрения множеств истинности (картинка всегда помогает).

Если говорят, что «утверждение А достаточно для утверждения В», это означает, что если А истинно, то В заведомо истинно. Значит утверждение «А достаточно для В» имеет смысл, аналогичный утверждениям «из А следует В» или «А влечет В». Соответственно, через кванторы это запишется так: А Þ В или так: В Ü А (В следует из А).

Из того факта, что при истинности А заведомо истинно В, немедленно следует, что множество истинности утверждения А целиком принадлежит множеству истинности утверждения В: { x: A(x) =.t.} Í { x: B(x) =.t.}

Рассмотрим теперь смысл термина «необходимо». Если говорят, что «утверждение В необходимо для утверждения А», это означает, что если В НЕистинно, то А заведомо НЕистинно.

Иначе это же утверждение можно сформулировать так: если В для А необходимо то не В для не А достаточно.

Геометрически ясно, что все эти формулировки будут выполнены при одном условии: множество истинности утверждения А целиком принадлежит множеству истинности утверждения В. Если это выполнено, то А для В достаточно и В для А необходимо. Одновременно для отрицаний это означает, что ØА для ØВ необходимо, а ØВ для ØА достаточно; для отрицаний достаточность и необходимость меняются местами. Это ясно из следующих соображений: Чем больше множество А, тем меньше множество ØА, ведь оно представляет собой дополнение А: ØА = Е – А (напомню, что означает все пространство, в котором мы рассматриваем задачу).

Если А для В необходимо и достаточно, то получается, что и множество истинности А принадлежит множеству истинности В, и наоборот – множество истинности В принадлежит множеству истинности А. Значит множества истинности А и В совпадают, и это эквивалентные утверждения ((АÞВ)Ù(ВÞА)) Û (АÛВ).

Таким образом, находим что «необходимо и достаточно» есть синоним «эквивалентно».

Рассмотрим некоторые простые примеры. Для того, чтобы число делилось на 6 необходимо, чтобы оно делилось на 3. По нашему определению, слово «необходимо» означает, что если условие не выполнено, то и свойства нет, необходимость – синоним достаточности отрицания. Действительно, если число на 3 не делится, то оно и на 6 не делится. Значит, делимость на 3 признак необходимый. Необходимый, но не достаточный. Если бы признак был достаточным, то каждое число, которое делится на 3, делилось бы и на 6. Но 9 на 3 делится, а на 6 нет. Значит делимость на 3 для делимости на 6 признак необходимый, но не достаточный.

А вот делимость на 36 признак достаточный, но не необходимый. Т.е число, которое делится на 36, на 6 заведомо делится. Но не всякое число, которое делится на 6, обязано делиться на 36 (например 12).

А вот признак необходимый и достаточный: для того, чтобы треугольник был равнобедренный необходимо и достаточно, чтобы у него углы при основании были равны. Действительно, у всех равнобедренных треугольников углы при основании равны, но верно и обратное: у всех треугольников, с равными углами при основании, боковые стороны тоже равны.

Для того, чтобы уяснить себе соотношение между терминами «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно», рекомендуется выполнить следующее упражнение.

Упражнение 1.4 Ниже приведен список предложений такой структуры: для утверждения А утверждение В, – а далее для каждого из предложений следует вписать один из трех вариантов: «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно».

Например: 1. для делимости на 6 (...), чтобы число делилось на 3 – ясно, что следует вписать «необходимо».

1. для делимости на 5 (...), чтобы число оканчивалось на 5

2. для того, чтобы быть родственником, (...) быть сыном

3. чтобы четырехугольник был квадратом (...), чтобы все стороны были равны

4. чтобы выиграть чемпионат страны по футболу, (...) набрать больше всех очков

5. чтобы получать доход от акций (…) быть владельцем акций или иметь права пользования

6. чтобы число х было корнем функции f (...), чтобы f(x) = 0

7. для положительных a,b, c,d чтобы дробь была больше дроби (...), чтобы

8. чтобы стать богатым (...) получить солидное наследство

9. чтобы (...), чтобы

10. чтобы перестать проигрывать в казино (...) перестать туда ходить

11. чтобы многочлен был многочленом второй степени (...), чтобы коэффициент при х² был не равен нулю

12. чтобы линия была прямой (...), чтобы длина ее фрагмента между любыми двумя ее точками была наименьшей из всех линий, соединяющих эти точки

2. числа

2.1 Целые и рациональные числа

2.1.1 Целые числа

Изучение математики обычно начинают со знакомства с числами. При этом для первоклассника числа – это такая штука, с помощью которой считают. Именно такие числа, предназначенные для того, чтобы считать яблоки и мальчиков, возникли первыми не только педагогически, но и исторически. Сейчас числа 1, 2, 3, 4 и т.д., числа, которыми считают предметы, называют натуральными.

Для этих чисел вводятся две операции: сложение и умножение. Свойства этих операций изучают в перовом классе, и наверное поэтому студенты первого курса обычно не могут эти свойства сформулировать – первый класс был давно. Мы постараемся этот пробел восполнить и сформулировать аксиомы для чисел. Но сначала немного поговорим о числах без аксиом.

Первая неприятность с натуральными числами обнаружилась, когда придумали операцию, обратную сложению (её обычно называют вычитанием). Дело в том, что вычесть из одного натурального числа другое можно не всегда; для первокурсников, уже сильно обогнавших первоклассников, поясню – вычесть можно не всегда, оставаясь внутри множества натуральных чисел. Вычесть из пяти три – можно, а из пяти семь – нельзя, даже и из пяти пять вычесть уже нельзя, если располагаешь только множеством натуральных чисел: 1, 2, 3, 4..., т.к. нет натурального числа, которое равнялось бы числу (5 –5).

Этот же факт можно выразить на более современном языке: уравнение, типа x + a = b не всегда имеет решение во множестве натуральных чисел.

Это затруднение математики преодолели, расширив числовое множество до множества целых чисел:...–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3... Это было очень трудной задачей, и решение ее далось людям очень нелегко, особенно трудным оказалось введение нуля – как это: число, которое обозначает ничто, отсутствие предмета? Нуль оказался очень трудным понятием. Тем не менее, задача была решена, люди открыли для себя целые числа. Множество целых чисел, как говорят математики, «замкнуто относительно сложения». Это означает, что всякое уравнение типа x + a = b с любыми целыми коэффициентами a и b всегда имеет опять таки целое решение.

Но с умножением дело обстояло не так благополучно. Нет, любые целые числа можно было умножать, т.е. в результате опять таки получалось целое число. Но обратная операция не всегда оказывалась выполнимой во множестве целых чисел. Поэтому уравнение x ´ a = b оказывалось разрешимым не при всяких целых a и b; при a= 2 и b = 6 уравнение решалось, а вот при a= 2 и b = 5 уравнение уже не решалось. Назрела необходимость нового расширения множества чисел – появились дроби. Но дробь – очень сложный объект, я думаю, ничего сложнее дроби в школьной математике нету. Попробуем разобраться – что же такое дробь?

2.1.2 Дроби.

Итак, наша задача так расширить понятие числа, чтобы деление одного числа на другое было возможно всегда. Двинемся малыми шагами.

1. Шаг первый. В множестве целых чисел 5 на 2 не делится. Ну и ладно – просто введем отношение 5 к 2 как новое число, так его и запишем: Т.е новые числа записываются как отношения (дроби). Но теперь для этих отношений следует определить правила сложения и умножения.

2. Правила умножения и деления получаются очень простыми. Чтобы умножить две дроби нужно помножить числитель на числитель и знаменатель на знаменатель. Делить дроби тоже просто: делитель нужно перевернуть (поменять у делителя числитель и знаменатель местами), после чего делимое умножить на перевернутый делитель. Очень простые правила, и всегда выполнимые. Т.к. произведение дробей всегда дробь и частное дробей всегда дробь.

3. Шаг второй. Но очень важно, вводя новые числа, не потерять старые! Наши старые друзья – целые числа должны включиться в новые числа как неотъемлемая часть. Это означает, что среди дробей следует выделить группу однозначно связанную с целыми числами, т.е. такую, чтобы каждому целому соответствовала одна и только одна дробь.

4. Ну, это просто. Все целые числа можно рассматривать как отношения (дроби) со знаменателем 1. Т.е. 5= , и это снимает проблему. Однако такого соответствия мало. Нужно чтобы и результаты соответствовали. Т.е. результат любой операции с целыми числами и с представляющими их дробями всегда оказывались одинаковыми (соответственными по правилу: целое есть дробь со знаменателем единица и числителем, равным целому).

Заметим, что по правилу умножения дробей при этом умножение целых всегда приводит к целому Но т.к. мы договорились, что дроби со знаменателем единица – это целые числа, то наша запись ничем в принципе не отличается от записи 5 ´ 7 = 35. С умножением все в порядке.

5. И с делением целых вроде бы все нормально, переворачивай делитель и потом умножай, но за одним важным исключением. НА НОЛЬ ДЕЛИТЬ НЕЛЬЗЯ! Мы еще будем разбирать, почему так получается, а пока рассматриваем это как правило: на ноль делить нельзя!

И есть еще парочка моментов, связанных с делением, которые нужно рассмотреть раньше, чем мы приступим к сложению дробей.

Во множестве целых чисел справедливо равенство 6:3 = 2. Значит и в области дробей должно быть справедливым равенство Но по правилу деления дробей поделить означает умножить на перевернутую дробь . А должно ведь быть !

А получить из можно «сократив» дробь, т.е. разделив числитель и знаменатель на одно и то же число 3. Отсюда мы получаем правило: числитель и знаменатель дроби можно поделить на одно и то же целое число (если деление выполнимо нацело). Однако если можно поделить (т.е. при делении дробь не изменится), значит и обратная операция тоже не изменяет дробь; раз то конечно и

Отсюда важное правило: числитель и знаменатель дроби можно умножить на одно и то же целое число – дробь при этом не изменится. Т.е. требование соответствия целых чисел дробям со знаменателем единица привели нас к двум важным правилам равенства дробей.

6. Шаг третий. Давайте осмыслим, что же у нас получилось. У нас есть правило, гласящее, что умножение и деление числителя и знаменателя на одно и то же число не меняет величины дроби. Отсюда получилось у нас вот что: строго говоря, отношение не есть число (дробь). Дробью является вся совокупность равных друг другу отношений: и так до бесконечности. Вот только все вместе они и есть дробь (такая совокупность равных друг другу объектов называется класс эквивалентности). Дробь – это только все эти отношения вместе, а одно из таких отношений разумно рассматривать как одну форму записи дроби или одного представителя класса. Вот при таком понимании у нас все сходится.

Разумно считать основным представителем дроби ту запись, которая выглядит проще всех – это запись с самым малым знаменателем, то, что в школе называли «несократимая дробь». Тогда целым числом является тот класс, у которого есть представитель с единицей в знаменателе; легко обнаружить, что у «настоящих дробей» представителя с единицей в знаменателе нет.

Отступление: о понятном и привычном. Вот какой непростой штукой оказалась дробь. Хотелось бы отметить – мы ничего не усложняли – мы только выявили ту сложность, которая была присуща дроби с самого начала. Она и в школе была. Просто в школе приучают – делайте так, и все будет хорошо. И ученики привыкают. Но привычное вовсе не значит понятное. Все умеют пользоваться телевизором – но отсюда очень далеко до четкого понимания вопроса: а как телевизор работает?

7. Шаг четвертый. А вот теперь проблема сложения и вычитания дробей решается просто. Дело в том, что есть очень простое правило для сложения и вычитания дробей: если знаменатели одинаковые, то можно просто сложить/вычесть числители, и получится правильный ответ. Заметим, что т.к. у всех целых одинаковый наименьший знаменатель – единица, то и здесь действия всегда выполнимы и результаты соответствуют результатам действий с целыми числами: 7 – 11 = –4 аналогично у дробей .

А как поступать в ситуации, когда знаменатели различны, например как вычислить сумму ? А вот тут как раз и время вспомнить, что дробь это целый класс отношений. И всегда можно в наших двух классах выбрать представителей с одинаковыми знаменателями. Например так:

первый класс – ...

второй класс – ....

Как мы видим, представители с одинаковыми знаменателями в наших классах есть, и мы можем выполнить сложение – вот и наш ответ. Конечно, мы сейчас обсуждали только теоретические основы действий с дробями, как выполнять действия с дробями практически мы обсудим несколько позже.

2.1.3 Рациональные числа

Совокупность всех дробей, т.е. всех чисел, которые можно представить в виде отношений двух целых чисел , называется множеством рациональных чисел. При этом:

- каждое число имеет бесконечное множество представлений в виде таких отношений;

- среди всех этих представлений одного рационального числа существует представление с наименьшим знаменателем, его называют основным;

- все представления данного числа получаются из его представления с наименьшим знаменателем путем умножения числителя и знаменателя на одно и то же натуральное число;

- если – основное представление дроби, то всякое иное представление той же самой дроби имеет вид , где k натуральное число.

Отметим также следующее: хотя, вообще говоря, знаменатель может быть любым целым, кроме нуля, традиционно знак «–» приписывается либо числителю, либо дроби в целом. Дробь приобретает знак «–», если числитель и знаменатель разного знака. И, если мы получили дробь в результате деления целых, независимо от того, кто был отрицателен изначально – числитель или знаменатель, знак минус приписывается числителю, если знаки у них разные.

Кроме записи в виде отношений существует еще один важный способ записи рациональных чисел – это запись в виде десятичных дробей. Десятичная дробь представляет собой бесконечную последовательность десятичных цифр, которая содержит одну запятую. Конечная последовательность цифр слева от запятой называется целой частью, а бесконечная последовательность после запятой называется дробной частью. Рациональным числам соответствуют только и исключительно периодические десятичные дроби. Это значит, что у каждой такой дроби начиная с определенного момента повторяется одно и то же сочетание цифр, например –132,487325325325325...Здесь очевидно бесконечное число раз повторяется сочетание 325, такое повторяющееся сочетание цифр называется периодом десятичной дроби. Приведенное ранее число с учетом наличия периода записывают так: 132,487(325); круглыми скобками выделен период. Когда мы видим конечную запись десятичной дроби, например 0, 25, следует понимать, что период у этой дроби тоже есть, но период этот 0, а такой период можно по умолчанию не указывать при написании. Т.е. 0,25 строго говоря, следовало бы писать так: 0,25(0), просто договорились период равный нулю не указывать, а отсутствие периода в начертании числа прочитывать как период (0) по умолчанию.

Вообще говоря, начертание десятичных дробей однозначное (в отличие от обычных отношений) за одним важным исключением 0,23(9) = 0,24(0) по определению. Т.е. в ситуации, когда у дроби оказывается период (9), последнюю цифру перед периодом увеличивают на единицу, а в период ставят (0). Такие числа считаются равными по определению, или, что то же самое, представляют собой две формы записи одного и того же числа. Число 1,17(9) записывается проще как 1,18, ибо по принципу умолчания период (0) можно вообще не указывать.

Итак, рациональные числаэто дроби, или рациональные числаесть периодические десятичные дроби – это эквивалентные определения.

2.2 приемы устного счета

А зачем вообще уметь считать в уме? Есть ведь различные устройства: компьютеры, калькуляторы, мобильные телефоны; достаточно научиться правильно нажимать кнопки, а уж они не ошибутся и выдадут правильный ответ. Это правда, но не вся правда, существует несколько причин, почему научиться считать без устройств и даже без бумаги очень даже стоит.

Причина первая – практика показала, что с помощью устройств по настоящему хорошо считают те, кто умеет и без устройств обходиться. Как у любого правила и из этого есть исключения, но они редки (на то они и исключения), а в общем картина выглядит именно так: и с калькуляторами хорошо считают те, кто умеет считать в уме.

Причина вторая – очевидная: не всегда устройства есть под рукой или устройства есть, но ими неудобно пользоваться. Я еще не видел, чтобы на базаре сдачу проверяли с помощью мобильника. Зато много раз видел, как продавцы ошибаются в подсчетах. И хотя продавцы часто пользуются калькуляторами, но при этом не так уж редко ошибаются, иногда и не в свою пользу (см. причина первая).

Причина третья: умение быстро оценить правдоподобие результата. Глядя на длинный расчет, выполненный компьютером или на калькуляторе желательно уметь быстро прикинуть – этот результат правдоподобен или нет? Дело в том, что любые устройства иногда ошибаются, ошибаются и люди, использующие устройства. Для контроля правильности полученного результата очень важно уметь быстро получить приблизительный ответ. Дело в том, что случайно возникшие ошибки редко бывают малыми, а грубую ошибку можно найти быстро! Это очень важное и практически очень ценное качество – от проверки бухгалтерского баланса до контроля счета в кафе.

Причина четвертая – методическая. Тренировка умения считать в уме чрезвычайно полезна сама по себе – в первую очередь это тренировка управления вниманием. Уметь управлять своим вниманием, уметь полностью отключиться на несколько минут от внешних воздействий и полностью сосредоточиться на проблеме – качество необыкновенно полезное, недаром достижению такого умения много времени уделяют различные восточные школы – от йоги до каратэ.

Льщу себя надеждой, что читателя я убедил, хотя уверенности в том не ощущаю. Но приступим.

2.2.1 Вычитание из круглых чисел и использование этого приема

Мы будем учиться вычитанию в такой ситуации, когда уменьшаемое (то, из чего вычитают) круглое число, т.е оканчивается несколькими нулями. Мы будем предполагать, что число цифр в вычитаемом (а это число, которое вычитают) такое же или меньше, чем число нулей в уменьшаемом, значит нулей нам всегда хватает. Рассмотрим, например, такую задачу: как вычесть 327 из 2000? Способ очень простой: первую справа цифру вычитаемого нужно дополнить до десяти, все остальные цифры вычитаемого дополняем до 9, а первую цифру перед нулями в уменьшаемом следует на единицу уменьшить. Движемся с хвоста: 7 до 10 даёт 3, 2 до 9 дает 7, 3 до 9 дает 6, и 2 уменьшим на единицу – получим 1. Т.е. мы считаем справа налево, итог: 1673, записывать ответ тоже удобно справа налево.

Если нулей больше – например, вычитаемое 130 000, а уменьшаемое по-прежнему 327, то четвертая цифра слева становится девяткой, а на единицу уменьшается следующая цифра (уменьшение на единицу сдвигается на разряд влево) получим ответ 129673. Соответственно 1 300 000 – 327 = 1 299 673. Можно считать так: если нулей в уменьшаемом больше, чем цифр в вычитаемом, то в вычитаемом слева нужно дописать нужное количество нулей и пользоваться принципом дополнения до 9. 130 000 – 327 = 130 000 – 0327 (теперь цифр справа столько, сколько нулей слева – и можно дополнять) = 129 673. Соответственно

1 300 000 –327 = 1 300 000 –00327= 1 299 673

Еще примеры: 700 – 49 = 651

17 000 – 898 = 16 102

Разумеется этой идеей можно часто воспользоваться и тогда, когда нулей у круглого числа на один меньше, чем знаков у вычитаемого. Например

17 000 – 2 898 = 14 102

Тут мы сначала вычли 898 по дополнению до 1000, а после от уменьшенной на 1 семерки (т.е. от шестерки) отняли 2. Однако лучше всего это можно понять на практике.

Упражнение 2.1 Ниже приведена серия примеров. Выполнять их следует таким образом. Попробуйте вычислить ответы в уме и записать их по порядку. После этого пересчитайте их письменно и сравните ответы. Если не все ответы совпали – опять выполните упражнение после перерыва – желательно на следующий день.

1. 30 – 7 4. 300 – 26 7. 1000 – 438 10. 30 – 17

2. 80 – 9 5. 800 – 74 8. 5000 – 592 11. 80 – 39

3. 60 – 1 6. 400 – 59 9. 7000 – 664 12. 60 – 31

13. 900 – 126 16. 3200 – 153

14. 800 – 374 17. 4000 – 539

15. 400 – 359 18. 6000 – 1784

---

Дата добавления: 2015-07-11