Естественный способ задания

Этот способ задания движения точки применяется в том случае, когда траектория точки, относительно выбранной систе­мы отсчета, известна. Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку А и примем ее за начало отсчета (рис. 2.3).

Далее, рассматривая траекторию как криволинейную координатную ось, сообщим ей ориентацию, т.е. поло­жительное направление отсчета рас­стояний s - AM. Тогда положение точки М на траектории будет одно­значно определяться криволинейной координатной s, равной расстоянию от точки А до движущейся точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точки М криво­линейная координатам будет изменяться с течением времени, т. е. s = s(t)

Зная уравнение (8), можно определить положение точки в каж­дый момент времени. Уравнение (8) называется уравнением дви­жения, или законом движения вдоль заданной траектории.

Рассмотрим связь между естественным и координатным способами задания движения точки. Для перехода от координат­ного способа задания движения к естественному необходимо:

1) определить уравнение траектории точки,

2) положение точки в начальный момент времени и

3) закон движения точки по ее траектории.

Как определить уравнение траектории, нам уже известно. Для определения положения движущейся точки в начальный мо­мент времени (/ = 0) необходимо в уравнения (2) подставить t = 0. Для определения закона движения точки по траектории восполь­зуемся известкой из математического анализа формулой длины дуги кривой

В теоретической механике дифференцирование по вре­мени принято обозначать точкой над дифференцируемой функ­цией. Перепишем формулу (9) в этих обозначениях.

Знак плюс в формулах (9), (10) берется в том случае, ко­гда точка М движется в сторону с положительного отсчета кри­волинейной координаты s. Если направление движения точки по траектории изменяется, то знак корня может быть различным для различных интервалов времени. Это изменение знака может быть при колебательном движении точки.

2. СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ ВЕКТОРНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ЕЁ ДВИЖЕНИЯ

Пусть в некоторый момент времени t положение точки М определяется радиус-вектором r(t), а в момент t₁=t+∆t - радиус-вектором r₁ = r + ∆r (рис. 2.4). Тогда перемещение точки М за промежуток времени ∆t=t₁-t будет ММ₁ = r₁ - r = ∆r.

Будем считать, что промежуток времени ∆t настолько мал, что с достаточной степенью точно­сти можно предполагать перемещение точки М в положение М₁, происходящим равномерно и прямолинейно. В этом слу­чае скорость точки М можно приближен­но вычислить так:

(1)

Для того, чтобы точно вычислить скорость точки в данный мо­мент времени, необходимо в формуле (1) перейти к пределу при стремлении промежутка времени ∆t к нулю, т.е.

Этот предел представляет собой первую векторную про­изводную по времени от радиус-вектора точки по времени. Сле­довательно, скорость точки в данный момент времени есть век­торная величина, равная первой производной от радиус-вектора точки по времени

3. СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ

Рассмотрим движение точки относительно прямоуголь­ной системы координат (рис. 2.5). В этом случае координаты точ­ки заданы как функции времени:

x = x(t), y = y(t), z = z(t). (1)

Разложим радиус-вектор г по ортам декартовой системы координат:

r = x(t) i + y(t) j +z(t) k. (2)

Зная, что вектор скорости равен пер­вой производной от радиус-вектора, продифференцируем равенство (2) по времени. В результате получим разло­жение скорости по ортам i, j, к:

(3)

С другой стороны разложение по ортам вектора скорости V по ортам i, j, к можно представить как:

(4)

Сравнивая формулы (3) и (4):

(5)

Таким образом, проекции скорости на неподвижные де­картовы оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки.

Из равенства (5) следует, что проекции скорости точки на координатные оси равны скорости проекции этой точки на те же оси. Зная проекции вектора скорости точки V, найдем его модуль:

или (6)

Направляющие косинусы:

4. СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ

Движение точки задано естественным способом. Известны траектория и закон s=s(t) (рис. 2.6). Каждой точке траектории соответствует определенный радиус-вектор r(t). Так как положение каждой точки траектории определяется дуговой координатой s, то радиус-вектор r можно рассматривать как сложную функцию времени t. Тогда:

(1)

Теперь найдем вектор скорости V:

(2)

Известно, что . Далее, так как направление ∆r=MM₁ в пределе (при ∆S → 0) совпадает с касательной к траектории в точке M, то вектор есть единичный вектор касательной к траектории (ее орт), направлен­ный в сторону возрастания криволинейной координаты S. Обо­значая орт касательной τ°, запишем формулу (2) в виде

(3)

Учитывая, что , а τ°∙τ° = 1, получим т.е. проекция вектора скорости точки на направление касатель­ной к траектории равна первой производной по времени от кри­волинейной координаты S no времени. Тогда формулу (3) можно записать так:

Из формулы (5) следует, что модуль скорости . Если > 0, то точка движется в положительном направлении отсчета расстояний и . Если же < 0, точка движется в от­рицательном направлении . Таким образом, модуль век­тора скорости точки равен модулю ее проекции на направление касательной:

При движении по окружности:

5. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ВЕКТОРНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ

Ускорение - физическая величина, характеризующая бы­строту изменения скорости точки во времени.

Пусть точка в момент времени t находится в положении М и имеет скорость v(t), а в момент t₁=t + ∆t приходит в поло­жение М₁ и имеет скорость v₁ (рис. 2.8). Тогда за промежуток времени ∆t= t₁-t вектор скорости получает векторное прираще­ние ∆v = v₁ - v, которое определяет изменение вектора скорости и по величине и по направлению. Для определения приращения скорости ∆v перенесем вектор v₁ параллельно своему направлению в точку М. Далее, соединив концы векторов v и v₁, получим ∆v. Разделив вектор ∆v на соответствующий промежуток време­ни ∆t, получим вектор

Таким образом, ускорение точки в данный момент вре­мени, есть векторная величина, равная первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени.

Установим теперь положение вектора ускорения a отно­сительно траектории. Отметим, что плоскость треугольника МАВ, образованного векторами v, v₁, ∆v, при ∆t →0 будет поворачи­ваться вокруг вектора v, т.е. вокруг касательной к траектории в точке М, и в пределе займет определенное предельное положе­ние. Это предельное положение плоскости МАВ называется соприкасающейся плоскостью в точке М траектории. Для плоской кривой эта плоскость есть плоскость самой кривой.

Как видно из рис. 2.8, вектор среднего ускорения а_ср на­правлен так же, как и ∆v, т.е. в сторону вогнутости траектории точки, и все время находится в плоскости треугольника МАВ.

Предел вектора а_ср при ∆t →0 есть вектор а, который расположен в предельном положении треугольника МВА, т.е. в соприкасаю­щейся плоскости траектории точки М. Итак, вектор полного ус­корения точки находится в соприкасающейся плоскости траек­тории точки и направлен в сторону вогнутости траектории.

6. УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ

Рассмотрим движение точки М относительно неподвиж­ной прямоугольной декартовой системы координат (см. рис. 2.5). В этом случае ее движение задано следующим образом:

x = x(t) y = y(t) z = z(t) (1)

Разложим радиус-вектор точки по ортам осей Oxyz:

r = x(t) i + y(t) j + z(t) k (2)

Дифференцируя равенство (2) дважды по времени, получим:

или

Т.е. проекции вектора ускорения на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответ­ствующих проекций вектора скорости или вторым производным от соответствующих координат точки.

По этим проекциям определяем величину и направление вектора ускорения:

или

7. ЕСТЕСТВЕННЫЙ КООРДИНАТНЫЙ ТРЕХГРАННИК

Рассмотрим пространственную кривую. Предельное по­ложение секущей, проходящей через точки М и M₁ кривой, когда точка M₁ стремится к точке М, называется касательной к кри­вой в данной точке М. Перпендикуляр к касательной в точке М называется нормалью к кривой в этой точке. Геометрическое место нормалей к данной кривой в данной точке называется нормальной плоскостью. Линия пересечения нормальной и сопри­касающейся плоскостей называется главной нормалью. Нормаль, перпендикулярная главной нормали, называется бинормалью.

Обозначим единичные векторы: касательной через τ°, главной нормали n° и бинормали b°. Через эти векторы проходят плоскости: (τ°, n°) - соприкасающаяся, (n°, b°) - нормальная и (b°, τ°) - спрямляющая. Три взаимно перпендикулярных направ­ления, которые определяются векторами τ°, n° и b°, образуют ес­тественную систему координат, или так называемый естествен­ный, или подвижный, трехгранник. Направление τ°, n° и b° определяются так же, как направление координатных осей, т.е. по правой системе, при этом единичный вектор главной нормали всегда направлен в сторону вогнутости кривой (рис. 2.9).

Проведем теперь в двух точках кривой М и М₁ единич­ные векторы касательных τ° и τ°₁. Угол между этими касательны­ми называется углом смежности. Обозначим этот угол через ∆θ, а длину дуги ММ₁ через ∆s (рис. 2.10). Предел отношения ∆θ и ∆s при ∆s 0, т.е.

, называется кривизной кривой в данной точке M. (1)

Найдем кривизну окружности радиу­са R. Возьмем на окружности дугу АВ = ∆s и проведем в точках А и В касательные к окружности (рис. 2. 11). Тогда

(2)

Отсюда следует, что окружность представляет собой кривую линию постоянной кривизны, равной обратной величине ее радиуса. Кривизна произвольной кривой вообще не­постоянна. Если через три точки М, М₁ и М₂ кривой провести ок­ружность, то в пределе при приближении точек М₁ и М₂ к М по­лучим предельную окружность, лежащую в соприкасающейся плоскости, которая называется кругом кривизны (рис. 2.12).

Центр круга кривизны называется центром кривизны, а радиус этого круга — радиусом кривизны кривой в точке М. Вели­чина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны данной кривой в данной точке.

Обозначая радиус кривизны буквой ρ, получим:

, .

8. РАЗЛОЖЕНИЕ УСКОРЕНИЯ ПО ЕСТЕСТВЕННЫМ ОСЯМ

Вектор скорости точки можно представить в виде: (1)

В правой части этого равенства с течением времени изменяются оба множителя: и проекция вектора скорости на касательную v_τ, и на­правление единичного вектора τ°. Дифференцируя равенство (1) по времени, получим:

(2)

Первое слагаемое представляет собой вектор, направленный по касательной. Чтобы определить второе слагаемое, будем рас­сматривать вектор τ° как функцию дуговой координаты s. Тогда:

(3)

Вектор , входящий в равенство (3), всегда направлен в сторону вогнутости траектории точки и, как видно из рис. 2.13, лежит в соприкасающейся плоскости. Действительно, приращение вектора τ° (см. рис. 2.13) ∆ τ° = τ°₁ - τ° лежит в плоскости треугольника МАВ. Если точка М₁→ M, эта плоскость, вращаясь вокруг неподвижного вектора τ°, стремится к предельному положению, т.е. к соприкасающейся плоскости. Далее, дифференцируя тождество τ° ∙ τ° = 1по s, получим:

(4)

а это есть условие перпендикулярности векторов сомножителей.

Таким образом, рассматриваемый вектор лежит в соприка­сающейся плоскости, направлен в сторону вогнутости траектории и перпендикулярен вектору τ°. Следовательно, он направлен по главной нормали к центру кривизны, т.е. по направлению орта n°. Поэтому

(5). Из треугольника МАВ: , откуда Переходя в последнем равенстве к пределу при ∆s→0, найдем:

, поэтому . Тогда окончательно:

Подставляя найденное выражение вектора из (6) в равенстве (2) и учитывая, что v_τ²=v₂², получим: Эта формула представляет собой разложение ускорения точки М по ортам естественного трехгранника. Составляющие вектора ускорения по направлениям τ° и n° соответственно равны (рис. 2.14):

Проекция ускорения на направление касательной: называется касательным или тангенциальным ускорением. Проекция ускорения на главную нормаль: называется нормальным ускорением. Так как ускорение точки лежит в соприкасающейся плоскости, то проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Модуль ускорения, на основании формул (9)-(10), будет

или . Угол между вектором a и главной нормалью можно определить так:

,

Касательное ускорение характеризует изменение скоро­сти по величине, а нормальное ускорение - изменение скорости по направлению.

Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью и в моменты времени, когда скорость достигает экстремальных значений. Если V_τ и a_τ одного знака, движение называется ускоренным, если же V_τ и a_τ разных знаков - замедленным. При a_τ =0 движение равномерное. Нор­мальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении (ρ→∞), в точках перегиба криволинейной траектории и в моменты времени, когда скорость точки обращается в нуль.

В заключение отметим, что модули тангенциального и нормального ускорений также можно определить и в случае за­дания движения точки координатным способом.

В самом деле, вспоминая определения модулей скаляр­ного и векторного произведений и представляя единичный вектор касательной, определяемый формулой , запишем:

, , или

Значения этих выражений определяются непосредственно дифференцированием закона движения точки, заданного координатным способом.

10. РАВНОМЕРНОЕ И РАВНОПЕРЕМЕННОЕ КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Разложение ускорения по естественным осям координат удобно для анализа и классификации различных случаев движе­ния точки.

Равномерное прямолинейное движение. Если во время движения точки ее ускорение равно нулю (а = 0), то такое дви­жение называется равномерным и прямолинейным. Скорость точки в этом случае не изменяется ни по величине, ни по направ­лению.

Прямолинейное переменное движение. Если во время движения точки ее нормальное ускорение равно нулю, то это движение прямолинейное. В самом деле, при а_n = 0, , а это

значит, что ρ→∞, т.е. траекторией точки является прямая.

Равномерное криволинейное движение. Если во время движения точки ее тангенциальное ускорение равно нулю (a_τ=0), то проекция скорости на касательную не изменяется. В этом слу­чае точка движется равномерно по кривой и ее полное ускорение равно нормальному, т.е. а = а_n.

Рис. 2.15

Дата добавления: 2015-07-14