Координатный способ задания движения точки

Векторный способ задания движения точки

Выберем некоторый неподвижный центр О и проведем из этого центра в точку М, движение которой изучаем, радиус-вектор r (рис. 2.1). При движении точки М радиус-вектор r изме­няется по величине и по направлению. Каждому моменту време­ни t соответствует определенное значение r.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Следовательно, радиус-вектор r однозначно определяет положение точки М. Таким образом, чтобы определить движение точки, нужно задать ее радиус-вектор в виде однозначной и не­прерывной функции времени:

r = r (t) (1)

Уравнение (1) определяет положение точки М в про­странстве в произвольный момент времени t, следовательно, уравнение (1) определяет закон движения точки М. При вектор­ном способе задании движения траекторией точки будет годо­граф радиус-вектора r.

Координатный способ задания движения точки

Рассмотрим прямоугольную декартову систему коорди­нат. Положение движущейся точки М определяется координата­ми х, у, z (рис. 2.2). Если координаты точки заданы как однознач­ные функции времени

x = x(t), y=y(t), z = z(t), (2)

то положение точки М в пространстве известно в каждый момент времени. Уравнения (2) определяют закон движения точки и на­зываются уравнениями ее движения. С математической точки зрения уравнения (2) представляют собой параметрические урав­нения траектории точки. Чтобы найти уравнение траектории в форме зависимостей между координатами точки М, нужно из уравнений (2) исключить время, т.е. параметр t. Решая, например, последнее уравнение из (2) относительно t, найдем t = φ (z). Подставляя это соотношение в первые два уравнения, получим:

x = x(φ(z)), y=y(φ(z)),

Плоскость:

x = x(t), y=y(t)

Прямая:

x = x(t)

Вышесказанное применимо для декартовой системы координат, для полярной:

ρ =ρ(t) φ=φ(t),

где ρ – полярный радиус, φ – угол между полярной осью и полярным радиусом

Связь между координатным и векторным способом:

r = x(t) i + y(t) j + z(t) k (7)

Равенство (7) устанавливает зависимость радиус-вектора точки М от времени и решает вопрос о переходе от координатно­го способа задания движения точки к векторному.

Дата добавления: 2015-07-14