Коэффициентами

Дифференциальное уравнение

(16)

где коэффициенты – постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Если , то уравнение (16) называется неоднородным.

Если , то уравнение (16) называется однородным.

I. Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(17)

Общим решением уравнения (17) является функция

(18)

где – фундаментальная система решений уравнения (17).

Фундаментальной системой решений называется всякая система линейно независимых решений, содержащая столько функций, каков порядок дифференциального уравнения.

Функции называются линейно зависимыми в интервале , если существуют постоянные числа , не все равные нулю, такие что для любых . Если же указанное тождество выполняется только в случае, когда и , то функции называются линейно независимыми в интервале .

Кратко критерий линейной независимости может быть сформулирован следующим образом: функции являются линейно независимыми, если определитель Вронского

отличен от нуля. В противном случае функции линейно зависимы.

Алгоритм нахождения общего решения однородного уравнения (17):

1) составляют соответствующее ему характеристическое уравнение (заменяя в однородном уравнении производные от искомой функции на k в соответствующей степени, то есть на , на и на )

(18).

Полученное квадратное уравнение может иметь (в зависимости от дискриминанта ) два различных действительных решения, два совпадающих (кратный корень) действительных решения и пару комплексно-сопряженных решений;

2) в зависимости от корней характеристического уравнения выделяются частные решения (соответствующие корням характеристического уравнения), образующие фундаментальную систему решений и записывается соответствующее общее решение (18).

	Корни характеристического уравнения	Частные решения	Общее решение однородного дифференциального уравнения
I	Два действительных и различных корня, т.е. ,
II	Два действительных и совпадающих корня, т.е.
III	Два комплексно сопряженных решения, т.е.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

a) , b) ,

c) .

Решение. Во всех трех случаях имеем однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение найдем по приведенному выше алгоритму.

Пример a. .

Составим характеристическое уравнение

и решим его

; ; .

Характеристическое уравнение имеет два различных действительных решения, т.е. имеем первый случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения

,

и получить общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Сделаем проверку найденного общего решения. Для этого найдем первую и вторую производную от общего решения

,

,

.

Подставим общее решение вместе с найденными производными в исходное уравнение

Пример b. .

Составим характеристическое уравнение

.

Не сложно заметить, что в правой части уравнения записан полный квадрат разности

.

Откуда получим (аналогичный результат можно было получить, используя обычный метод решения квадратных уравнений).

Характеристическое уравнение имеет два совпадающих действительных решения (или один действительный корень кратности два), т.е. имеем второй случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения

,

и получить общее решение исходного дифференциального уравнения

.

Пример c. .

Составим характеристическое уравнение

и решим его

;

;

.

Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных решения, т.е. имеем третий случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать фундаментальную систему решений данного уравнения

,

и получить общее решение исходного дифференциального уравнения

.

II. Рассмотрим теперь решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (16):

.

В общем случае это уравнение может быть решено методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа). Алгоритм нахождения решения методом Лагранжа состоит в следующем:

1. Находим общее решение однородного линейного уравнения (17), соответствующего исходному неоднородному уравнению (16)

.

2. Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде общего решения однородного уравнения, считая, что произвольные постоянные являются функциями независимой переменной x, т.е. в виде

.

При этом функции могут быть найдены как решения системы

которая является линейной системой двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными относительно . Определитель этой системы является определителем Вронского, который отличен от нуля, если образуют фундаментальную систему решений. Поэтому система двух алгебраических уравнений с двумя неизвестными имеет единственное решение . Интегрируя полученные равенства, найдем функции и тем самым получим общее решение исходного неоднородного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен, поэтому в ряде случаев, когда правая часть имеет специальный вид, можно использовать другой метод – метод неопределенных коэффициентов, воспользовавшись следующим утверждением о структуре общего решения неоднородного обыкновенного дифференциального уравнения.

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (16) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (17) и частного решения исходного неоднородного уравнения (16), т.е.

.

Общее решение линейного однородного уравнения находим по алгоритму, приведенному выше. Далее необходимо найти частное решение неоднородного уравнения. В некоторых случаях вид частного решения устанавливается по правой части исходного неоднородного уравнения.

Если правая часть дифференциального уравнения имеет вид

где – многочлены степени n и m соответственно, а и b – некоторые постоянные числа, то частное решение неоднородного уравнения будет иметь следующую структуру:

где – многочлены степени , записанные с неопределенными коэффициентами; r – равно числу корней характеристического уравнения (18), совпадающему с числом . Таким образом, , если среди корней характеристического уравнения нет числа ; , если существует один корень характеристического уравнения или , совпадающий с числом ; , если существует двукратный корень характеристического уравнения, совпадающий с числом .

Зная структуру частного решения неоднородного уравнения, неизвестными которого являются только коэффициенты многочленов, подставим его вместе с производными в исходное уравнение и, приравнивая коэффициенты подобных членов слева и справа, получаем необходимое количество линейных алгебраических уравнений для вычисления этих неизвестных коэффициентов.

Таким образом, для правой части специального вида общее решение дифференциального уравнения может быть легко найдено с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование и решение линейных алгебраических уравнений, не прибегая к операции интегрирования, которая необходима в методе вариации произвольных постоянных.

Частными случаями правой части специального вида дифференциального уравнения являются следующие:

1) , которая получается из общего случая при ;

2) , которая получается из общего случая при ;

3) , которая получается из общего случая при .

В заданиях 4 и 5 необходимо найти общие решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, в которых правая часть имеет специальный вид. Эти задания можно решать как методом вариации произвольных постоянных (методом Лагранжа), так и методом неопределенных коэффициентов. По нашему мнению, последний метод предпочтительнее, так как в нем не требуется применять операцию интегрирования. При решении задания 4 будут показаны оба метода. В задании 5 будет проиллюстрирован только один метод – метод неопределенных коэффициентов.

Задание 4. Найти общее решение дифференциального уравнения.

Сделать проверку.

Решение. Имеем обыкновенное дифференциальное уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Решим данное уравнение двумя способами: первый способ – метод неопределенных коэффициентов (правая часть специального вида); второй способ – метод вариации произвольных постоянных.

√Первый способ. Общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

.

где – общее решение соответствующего однородного уравнения,

– частное решение исходного неоднородного уравнения.

а) Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения

.

Для этого составим характеристическое уравнение, заменив в нем на , на и на :

Решая квадратное уравнение, получим корни характеристического уравнения , . Эти корни являются действительными и различными, поэтому фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, будет иметь вид , . Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой:

.

б) Найдем – частное решение исходного неоднородного уравнения. Для этого рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения

.

Правая часть исходного уравнения будет иметь специальный вид, если , , , т.е. , , т.е. . Так как правая часть имеет специальный вид, структура частного решения в общем случае будет иметь вид:

.

Так как и число , то . Так как и , то , т.е. , . Тогда структура частного решение исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид:

,

,

.

Коэффициенты A и B определим методом неопределенных коэффициентов. Для этого найдем первую и вторую производные от частного решения

,

Подставим найденные выражения в исходное уравнение:

Разделим обе части на и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной, т.е. при , и . Получим систему, из которой найдем коэффициенты и . Таким образом,

или

Решая систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя переменными, получим , . Тогда частное решение

.

Общее решение исходного неоднородного уравнения определяется формулой

Таким образом,

Сделаем проверку.

,

Подставим , , в исходное уравнение

Получили верное равенство.

√Второй способ a) Запишем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения (как это было сделано в первом способе в пункте a):

.

б) Будем искать общее решение неоднородного линейного уравнения в виде общего решения однородного линейного уравнения, считая, что произвольные постоянные являются функциями независимой переменной x, т.е. в виде

.

Функции могут быть найдены из решения системы

где , , , , , т.е.

, .

Таким образом,

, .

Тогда

Обозначив через , окончательно получим

Ответ: общее решение

Задание 5. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения. Сделать проверку.

.

Решение. Данное уравнениеявляется обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Его общее решение имеет вид:

.

где – общее решение соответствующего однородного уравнения,

– частное решение исходного неоднородного уравнения.

а). Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения

.

Для этого составим характеристическое уравнение, заменив в нем на , на и на :

.

Решая квадратное уравнение (, , ), найдем корни характеристического уравнения , т.е. и . Имеем два комплексно-сопряженных корня (третий случай), поэтому фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, будет иметь вид: , . Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой:

.

б) Найдем – частное решение исходного неоднородного уравнения. Для этого рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения

.

Правая часть исходного уравнения будет иметь специальный вид, если , , , т.е. , , т.е. . Так как правая часть имеет специальный вид, то структура частного решения в общем случае будет иметь вид:

.

,

т.е. , .

Тогда структура частного решение исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид:

,

.

Коэффициенты A и B определим методом неопределенных коэффициентов. Для этого подставим частное решение с неопределенными коэффициентами в исходное уравнение, предварительно вычислив первую и вторую производные

.

Тогда

Таким образом,

Разделим обе части равенства на и приравняем коэффициенты при и . Получим систему, из которой найдем коэффициенты и . Таким образом,

или

Тогда частное решение

.

Общее решение исходного неоднородного уравнения определяется формулой

Таким образом,

Проверка выполняется аналогично тому, как это было показано в задании 4.

Литература

Дата добавления: 2015-07-14