Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Допускающие понижение порядка

Читайте также:
  1. II. Положительное согласование порядка и прогресса
  2. quot;ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБЩЕСТВЕННОГО ПОРЯДКА
  3. Второго порядка с постоянными коэффициентами
  4. Геометрические задачи, приводящие к решению дифференциальных уравнений 1-го порядка
  5. Глава 15. Охрана законности и правопорядка
  6. Глава 19. Административные правонарушения против порядка управления
  7. ГРАНИЦЫ ПОРЯДКА СУЩЕСТВОВАНИЯ

 

Интегрирование дифференциальных уравнений n-го порядка и в частности 2-го порядка (в конечном виде) удается произвести только в некоторых частных случаях.

Рассмотрим некоторые типы уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, т.е. позволяющие свести уравнение к системе двух уравнений первого порядка.

 

1. Рассмотрим уравнение вида

 

.

 

Общее решение этого уравнения находится методом двукратного интегрирования. Умножая обе его части на и интегрируя, получаем уравнение первого порядка:

 

 

Повторяя эту операцию, получим общее решение исходного уравнения

 

 

Таким образом, общее решение исходного уравнения

 

.

 

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

.

 

Решение. Общее решение найдем двукратным интегрированием

 

 

 

Таким образом, .

 

 

2. Рассмотрим уравнение вида

 

,

 

т.е. уравнение, в запись которого явно не входит искомая функция. Такое уравнение можно решить, введя новую неизвестную функцию . Сделав замену переменной и учитывая, что получим уравнение первого порядка, т.е. понизим порядок исходного уравнения на одну единицу. Если удастся отыскать общее решение полученного уравнения первого порядка, т.е. , то для нахождения общего решения исходного уравнения необходимо решить следующее дифференциальное уравнение первого порядка

 

.

 

Это уравнение относится к первому типу и решается однократным интегрированием.

 

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

 

 

Решение. Данное уравнение является уравнением, не содержащим искомой функции. Сделаем замену . Тогда, учитывая, что , получим уравнение первого порядка

 

или .

 

Получили линейное уравнением первого порядка, которое решим методом Бернулли: , . Тогда

 

, ,

1) , и 2). .

 

Первое уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными.

 

1) , , , ,

 

, , , .

 

Таким образом, . Подставим найденное значение во второе уравнение и получим уравнение с разделяющимися переменными

 

2) , , , , , ,

.

 

Таким образом, решение второго уравнения . Учитывая замену переменных, получим:

 

.

 

Таким образом, .

 

3. Рассмотрим уравнение вида

 

,

 

т.е. уравнение, в запись которого явно не входит независимая переменная. Такое уравнение можно решить, введя новую неизвестную функцию . Сделав замену переменной и учитывая, что

 

,

 

где , получим уравнение первого порядка относительно новой искомой функции p(y) и новой независимой переменной y, т.е. понизим порядок исходного уравнения на одну единицу. Если удастся отыскать общее решение полученного уравнения первого порядка, т.е. , то для нахождения общего решения исходного уравнения необходимо решить следующее дифференциальное уравнение первого порядка



 

.

 

Это уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

 

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

 

с начальными условиями .

 

Решение. Данное уравнение является уравнением, не содержащим явно независимую переменную. Сделаем замену . Тогда, учитывая, что , получим уравнение первого порядка

 

.

 

Учитывая, что , получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

 

, , , ,

 

, , .

 

Так как необходимо найти частное решение данного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях, то при появлении произвольных постоянных в процессе решения уравнения, их можно сразу определять.

Определим произвольную постоянную . Так как и , то в силу замены получим . Подставим и в полученное промежуточное решение :

, .

Таким образом, или . Так как , то

.

 

Получили уравнение первой степени с разделяющимися переменными.

 

, , ,

 

Загрузка...

, .

 

Таким образом, общее решение примет вид:

.

Найдем произвольную постоянную , подставив и :

 

,

 

Окончательно получаем общий интеграл

 

 

или общее решение

 

 

Ответ: общее решение исходного уравнения .

 

 


Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 57 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Дифференциальные уравнения | Первого порядка | С разделяющимися переменными | Первого порядка | I. Дифференциальное уравнение вида | II. Дифференциальное уравнение вида | Уравнения в полных дифференциалах | Дополнительная |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Дифференциальные уравнения второго порядка| Коэффициентами

mybiblioteka.su - 2015-2018 год. (0.011 сек.)