Допускающие понижение порядка

Интегрирование дифференциальных уравнений n -го порядка и в частности 2-го порядка (в конечном виде) удается произвести только в некоторых частных случаях.

Рассмотрим некоторые типы уравнений второго порядка, допускающих понижение порядка, т.е. позволяющие свести уравнение к системе двух уравнений первого порядка.

1. Рассмотрим уравнение вида

.

Общее решение этого уравнения находится методом двукратного интегрирования. Умножая обе его части на и интегрируя, получаем уравнение первого порядка:

Повторяя эту операцию, получим общее решение исходного уравнения

Таким образом, общее решение исходного уравнения

.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Общее решение найдем двукратным интегрированием

Таким образом, .

2. Рассмотрим уравнение вида

,

т.е. уравнение, в запись которого явно не входит искомая функция. Такое уравнение можно решить, введя новую неизвестную функцию . Сделав замену переменной и учитывая, что получим уравнение первого порядка, т.е. понизим порядок исходного уравнения на одну единицу. Если удастся отыскать общее решение полученного уравнения первого порядка, т.е. , то для нахождения общего решения исходного уравнения необходимо решить следующее дифференциальное уравнение первого порядка

.

Это уравнение относится к первому типу и решается однократным интегрированием.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Данное уравнение является уравнением, не содержащим искомой функции. Сделаем замену . Тогда, учитывая, что , получим уравнение первого порядка

или .

Получили линейное уравнением первого порядка, которое решим методом Бернулли: , . Тогда

, ,

1) , и 2). .

Первое уравнение – это уравнение с разделяющимися переменными.

1) , , , ,

, , , .

Таким образом, . Подставим найденное значение во второе уравнение и получим уравнение с разделяющимися переменными

2) , , , , , ,

.

Таким образом, решение второго уравнения . Учитывая замену переменных, получим:

.

Таким образом, .

3. Рассмотрим уравнение вида

,

т.е. уравнение, в запись которого явно не входит независимая переменная. Такое уравнение можно решить, введя новую неизвестную функцию . Сделав замену переменной и учитывая, что

,

где , получим уравнение первого порядка относительно новой искомой функции p (y) и новой независимой переменной y, т.е. понизим порядок исходного уравнения на одну единицу. Если удастся отыскать общее решение полученного уравнения первого порядка, т.е. , то для нахождения общего решения исходного уравнения необходимо решить следующее дифференциальное уравнение первого порядка

.

Это уравнение является уравнением первого порядка с разделяющимися переменными.

Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения

с начальными условиями .

Решение. Данное уравнение является уравнением, не содержащим явно независимую переменную. Сделаем замену . Тогда, учитывая, что , получим уравнение первого порядка

.

Учитывая, что , получим уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

, , , ,

, , .

Так как необходимо найти частное решение данного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях, то при появлении произвольных постоянных в процессе решения уравнения, их можно сразу определять.

Определим произвольную постоянную . Так как и , то в силу замены получим . Подставим и в полученное промежуточное решение :

, .

Таким образом, или . Так как , то

.

Получили уравнение первой степени с разделяющимися переменными.

, , ,

, .

Таким образом, общее решение примет вид:

.

Найдем произвольную постоянную , подставив и :

,

Окончательно получаем общий интеграл

или общее решение

Ответ: общее решение исходного уравнения .

Дата добавления: 2015-07-14