Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение вида

Дифференциальное уравнение вида

,

где , называется уравнением в полных дифференциалах, т.е. левая часть такого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции . Если это уравнение переписать в виде , то его общее решение определяется равенством . Функция может быть найдена по одной из формул:

или

,

где точка принадлежит области определения функций , .

Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

.

Решение.

По условию имеем , .

Проверим выполнение условия . Имеем , , т.е. условие выполнено, следовательно, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Его общий интеграл , где функцию можно найти по формуле

,

положив для простоты и . Выбор этих значений , допустим, так как функции , и их частные производные определены в этой точке. Тогда получим

Или окончательно получаем общий интеграл

Дата добавления: 2015-07-14