Задача о распаде разрыва в акустической постановке для сферического случая.

Рассмотрим шар радиуса . Пусть давление в газе внутри шара равно , снаружи шара давление равно . Газ первоначально всюду покоится. В момент времени оболочка шара разрушается. Тогда согласно определениям скорости и давления через потенциал начальные условия в нашей задаче для волнового уравнения примут вид:

, (3.25)

т. е. решение при должно удовлетворять условиям:

(3.26)

Условия (3.26) определяют функции для положительных значений их аргументов. Однако в решение - (3.22) входят значения функции и для отрицательных значений аргумента. Недостающее условие связано с поведением решения в начале координат и связано с требованием отсутствия источника в начале координат, т.е.

,

следовательно (3.27)

Как видно, условие (3.27) определяет функцию для отрицательных значений аргумента по известным значениям функции для положительных значений аргумента. Решая совместно уравнения (3.26) и (3.27), находим выражения для функций :

Поэтому, формула для возмущения давления принимает вид:

, где функции равны

Картина характеристик и изменение давления со временем изображены на Рис. 3.1. Как видно, для точек давление скачком возрастает на величину в момент времени , затем избыточное давление линейно убывает со временем, достигая величины в момент времени , а потом скачком возвращается к нулю. Даже при скачок на фронте волны равен только , остальная часть от полного скачка поглощается идущей к центру волной разрежения.

Рис. 3.1

Для внутренних точек скачкообразное изменение давления, уменьшающее исходное значение до , происходит в момент времени , затем избыточное давление линейно убывает со временем, достигая величины в момент времени , а потом скачком возвращается к нулю.

Итак, при распаде разрыва на сфере радиуса одновременно возникают две ударные волны. Ударная волна сжатия распространяется от центра по газу с давлением с постоянной скоростью , ее интенсивность падает по мере удаления от поверхности радиуса по закону по достижении поверхности радиуса . Ударная волна разрежения распространяется к центру по газу с давлением с постоянной скоростью , ее интенсивность увеличивается по мере схождения к центру по закону по достижении поверхности радиуса . Далее ударная волна разрежения схлопывается в центре и отражается от центра в виде ударной волны сжатия . Заметим, что в центре изменения бесконечно велики, но весь процесс занимает бесконечно малый интервал времени. Возникшая ударная волна сжатия движется от центра с постоянной скоростью и переменной интенсивностью поднимая величину давления в расширяющемся газе до величины .

Дата добавления: 2015-10-23