Кинематика карданного шарнира неравных угловых скоростей

Схема шарнира дана на рис.49а, где 1 – ведущий вал, 2 – ведомый вал, 3 – крестовина. Ведущий вал вращается по часовой стрелке, a - угол его поворота, ведомый вал (его ось) образует угол g с ведущим, соответственно вертикальная ось крестовины BD вращается в вертикальной плоскости ОО₁ОО₁, а горизонтальная ось крестовины А¢C¢ вращается в плоскости OB¢OD¢, наклонённой к вертикали на угол g. Ведомый вал также вращается по часовой стрелке, b - угол его поворота. На рис.49б показан вид сбоку на шарнир, а на рис.50 – вид по стрелке А, при этом плоскость вращения вертикальной оси крестовины совпадает с плоскостью рисунка, а плоскость вращения горизонтальной оси крестовины в проекции на вертикальную плоскость представлена эллипсом. На рис.50 вертикальная плоскость ограничена кругом вращения ABCD, а наклонная плоскость ограничена эллипсом A¢B¢C¢D¢. Нижняя граница эллипса показана пунктирной линией, так как она уходит за плоскость рисунка.

Рассмотрим кинематику карданного шарнира неравных угловых скоростей (асинхронного) с целью установления соотношения частот вращения ведущего и ведомого валов и выяснения зависимости этих соотношений от угла между валами.

Анализ проведём графическим методом. Исходное положение крестовин на рис.50показано жирными линиями АХВ. Эта половина крестовины - верхняя часть вертикальной оси и левая часть горизонтальной оси. Точка В обозначена большим кружком, а точка А – жирной точной. Вертикальный луч ВХ (вертикальная ось крестовины) жёстко связан с ведущим валом шарнира и вращается в плоскости чертежа, а горизонтальный луч (горизонтальная ось крестовины) жёстко связан с ведомым валом шарнира и вращается в плоскости, расположенной под углом g к плоскости чертежа. Круг вращения горизонтального луча А¢Х на рис.50 показан своей проекцией и представляет собой эллипс А¢В¢С¢D¢.

Повернем луч ВХ на угол a₁ по часовой стрелке, тогда луч ВХ займёт положение В₁Х, а жёстко связанный с ним луч А¢Х повернулся бы на тот же угол a₁, если бы он вращался также в вертикальной плоскости. Но горизонтальный луч может вращаться только в круге А¢В¢С¢D¢ (в эллипсе). При этом он повернётся в эллипсе на угол В₁. Этот поворот можно представить состоящим из двух последовательных движений, показанных на рис.50: сначала происходит поворот луча А¢Х в вертикальной плоскости на угол a₁ (положение А¢¢Х), а затем луч А¢¢Х поворачивается вокруг оси В₁Х до совмещения его с плоскостью эллипса (положение А¢¢¢Х), а луч А¢¢¢Х в эллипсе образует проекцию угла b¢₁, для получения реального угла b₁ в плоскости эллипса нужно повернуть эллипс до совмещения его с плоскостью чертежа. Это показывает стрелкой – точка А¢¢¢ попадает в точку А¢¢¢¢. Луч А¢¢¢¢Х образует реальный угол b₁.

Таким образом, поворот вертикального луча ВХ на угол a₁ (угол поворота ведущего вала) сопровождается поворотом горизонтального луча А¢Х на угол b₁ (угол поворота ведомого вала). На рис.50 видно, что в первом квадранте круга ОВ b>a, во втором квадранте круга ВО b<a, в третьем квадранте круга ОD b>a, четвёртом квадранте круга DО снова b<a.

Угловая частота вращения оценивается величинами углов a и b, так как если за время t₁ ведущий вал повернулся на угол a₁, то ведомый вал за этот же отрезок времени t₁ повернулся на угол b₁. Отношение частот, таким образом, определяется отношением углов a и b. Это, очевидно, средние частоты вращения, мгновенные же частоты вращения представляют собой производные:

w₁ =

Изложенный графический метод предполагает построение эллипса по соответствующим точкам на линиях О₁О₁ и В¢D¢ на рис. 49б. После выбора шага следует по точкам построить эллипс, а затем, задаваясь углами a, получить углы b.

Из рис.50 видно, что с ростом угла g неравномерность вращения возрастает.

Процедура графического решения такова:

1. Изображается круг АВОD.

2. По принятому шагу и соответствующим точкам рис.49б 1-1¢, 2-2¢, 3-3¢, 4-4¢, 5-5¢ и т.д. в круге АВОD строится эллипс А¢В¢О¢D¢.

3. Задаваясь углами a строим углы b. Например, задавшись углом a1, проводим линию А¢¢Х, затем из точки А¢¢ по радиусу попадаем в точку А¢¢¢ по стрелке, затем из точки А¢¢¢ вертикально вверх по стрелке попадает в точку А¢¢¢¢. Точку А¢¢¢¢ соединяем радиусом с точкой Х. Получает угол b₁.

Предложенный графический метод даёт наглядную картину работы карданного шарнира и позволяет качестве оценить процесс передачи вращения от ведущего вала к ведомому.

Аналитические зависимости могут быть легко получены с помощью рис.51, где показано произвольное сечение кругов вращения вилок кардана. На рис.51 слева показан прямоугольный треугольник с большим катетом в и гипотенузой с с острым углом g между плоскостями вращения вилок кардана. Справа на этом же рисунке представлены два прямоугольных треугольника с острыми углами a и b. Это те же треугольники, что и на рис.50 – треугольник А¢¢¢¢ХЕ с острым углом b₁ и треугольник А¢¢¢ХЕ с острым углом a₁.

На рис.51 треугольник с углом b имеет катеты с и d, а треугольник с углом a имеет катеты в и d. Отсюда получаем зависимость:

(1)

Соотношение с к в получено из треугольника в левой части рис.51.

В другом виде

tga=tgb×cosg (2)

Соотношения для угловых частот w₁ и w₂, получим путем дифференцирования уравнения (2):

Дата добавления: 2015-10-31