Метода неопре­деленных коэффициентов

Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби:

1 вид: , где и - целые многочлены, причем степень числителя ниже степени знаменателя. Если

(2.3.1)

где - различные действительные корни многочлена; - натуральные числа (кратности корней), то справедливо разложение рациональной дроби с помощью неопре­деленных коэффициентов на простейшие дроби:

(2.3.2)

Замечание 2.3.1. Для вычисления неопределенных коэффициентов обе части тождества (2.3.2) приводят к общему знаменателю, а затем, поскольку получают равные дроби с одинаковыми знаменателями, а значит и с равными числителями, то приравнивают числители. Из курса алгебры известно, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной х, поэтому их следует приравнять.

Пример 2.3.9. Найти .

Решение. По формуле (2.3.2) имеем разложение рациональной дроби с помощью неопре­деленных коэффициентов А и В на простейшие дроби:

.

Откуда с учетом замечания 2.3.1 имеем . следовательно

Значит разложение данной рациональной дроби таково тогда

.

Пример 2.3.10. Найти .

Решение. По формуле (2.3.2) имеем разложение рациональной дроби с помощью неопре­деленных коэффициентов А, и на простейшие дроби:

.

Откуда с учетом замечания 2.3.1 имеем . следовательно

Тогда .

2 вид

Замечание 2.3.2. Если многочлен имеет комплексные корни: , кратности k, то в разложение (2.3.2.) войдут простейшие дроби вида:

Пример 2.3.11. Вычислить .

Решение. Поскольку корни знаменателя рациональной дроби в данном интеграле комплексные , с учетом замечания 2.3.2 по формуле (2.3.2) имеем разложение рациональной дроби с помощью неопре­деленных коэффициентов А, и на простейшие дроби:

,

Откуда с учетом замечания 2.3.1 имеем . следовательно

Тогда

.

Пример 2.3.12. Найти .

Решение. Подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью: .

Выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов:

Т.о. подынтегральную функцию можно представить в виде суммы целой части и неправильной рациональной дроби: , тогда .

По формуле (2.3.2) имеем:

= .

По замечанию 2.3.1 имеем:

, следовательно

Тогда =

или окончательно получим:

.

Дата добавления: 2015-10-30