Читайте также:
|
Полагая 
, где t – новая переменная и 
– непрерывная функция, дифференцируемая в области определения, будем иметь:
. (2.1.1)
Пример 2.1.1. Вычислить 
.
Решение.
.
Пример 2.1.2. Найти 
.
Решение.
.
Пример 2.1.3. Найти 
.
Решение.
.
Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям: Если 
и 
- дифференцируемые функции, то:
. (2.2.1)
Умение разбить подынтегральное выражение на множители 
и 
вырабатывается в процессе решения. Но можно указать основные типы интегралов, к которым применима формула интегрирования по частям.
Если подынтегральное выражение имеет вид
1. 
| рекомендуется обозначать:  = 
|
2. 
| рекомендуется обозначать  = 
|
3. 
| – любая из функций, но здесь обязательно требуется двукратное интегрирование по частям.
|
Пример 2.2.1. Найти 
.
Решение.
.
Пример 2.2.2. Найти 
.
Решение.
.
Пример 2.2.3. Найти 
.
Решение.
.
Пример 2.2.4. Найти 
.
Решение.
.
Приравняем начальное и конечное выражения:
.
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью (функцией) называется дробь вида 
, где 
и 
многочлены.
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена ниже степени многочлена , в противном случае рациональная дробь называется неправильной.
Если рациональная дробь неправильная, то путем почленного деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов (или с помощью алгебраических преобразований) следует выделить целую часть и неправильную рациональную дробь представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби.
Поэтому будем рассматривать интегрирование правильных рациональных дробей, поскольку интегрирование целой части не вызывает затруднений.
Простые (правильные) рациональные дроби рассмотрим четырех типов:
, 
; 
; 
,
где 
- действие числа; квадратный трехчлен 
имеет отрицательный дискриминант, поэтому на множители не может быть разложен.
Рассмотрим интегрирование дробей каждого вида.
;
.
Пример 2.3.1. Найти 
.
Решение. 
.
Пример 2.3.2. Найти 
.
Решение. 
.
Пример 2.3.3. Найти 
.
Решение. 
.
Пример 2.3.4. Найти 
.
Решение. 
= 
.
Дата добавления: 2015-10-30; просмотров: 115 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Свойства неопределенного интеграла | | | Метода неопределенных коэффициентов |