Вычисление тройных интегралов

Тройной интеграл

Тройной интеграл является обобщением понятия двойного интеграла на случай функции трёх переменных, заданной в пространственной области.

Пусть в пространстве с прямоугольной системой координат задана некоторая область , ограниченная замкнутой поверхностью . Пусть на множестве определена непрерывная функция точки . Разобьём область произвольным образом на части с объёмом , , выберем в пределах каждой частичной области по точке и составим интегральную сумму . Если увеличивать число разбиений , так чтобы наибольший из диаметров частичных областей стремился к нулю, то существует предел интегральных сумм , который не зависит ни от способа разбиения области на части, ни от выбора точек в каждой из частей. Этот предел называется тройным интегралом от функции по области и обозначается символом

; (1)

функция называется интегрируемой по области .

Если представляет собой объёмную плотность распределения вещества в области , то тройной интеграл (1) численно равен массе заключённого в вещества. В этом состоит физический смысл тройного интеграла.

Основные свойства тройных интегралов аналогичны соответствующим свойствам двойных интегралов. В частности, тройной интеграл от функции по области равен объёму этой области:

. (2)

Вычисление тройных интегралов

Сводится к последовательному вычислению трёх определённых интегралов.

1. Если область – параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям, то

.

Интеграл в правой части равенства называется трёхкратным.

2. Пусть область ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью и однозначно проектируется на область плоскости Оху, так что для всех точек . Тогда любая прямая, параллельная оси , пересекает границу не более двух раз (рисунок). Назовём такую область «правильной в направлении оси ». В этом случае

.

Если представить теперь двойной интеграл в виде повторного по формуле (7) или (8) (п.), то придём к трёхкратному интегралу. Например, в случае (7), когда , – правильная в направлении оси Оу область, будем иметь:

. (4)

Вычисление трёхкратного интеграла (4) начинают с внутреннего интеграла (по переменной z). Так как в общем случае пределы в нём зависят от внешней и средней переменных, то в результате его вычисления получается функция двух этих переменных. Далее уже от неё вычисляют повторный интеграл известным из п. способом.

Аналогично можно рассмотреть остальные способы сведения тройного интеграла к трёхкратному.

Вопрос. Сколько существует способов сведения тройного интеграла к трёхкратному?

Ответ. Число способов равно числу перестановок переменных , , между собой, т.е. шести.

3. Область интегрирования может быть такова, что:

- прямые, параллельные оси «внутренней» координаты, в некоторых случаях пересекают границу более чем в двух точках;

- граница составная, т.е. состоит из нескольких разных поверхностей.

Тогда либо выбирают другой способ сведения тройного интеграла к трёхкратному, либо разбивают область на «правильные» области (как в случае 2) инаходят двойные интегралы по этим областям. Интеграл по всей области будет равен сумме найденных интегралов по свойству аддитивности.

Пример 1.

Пусть область – шар радиуса с центром в начале координат О. Его границей является сфера с уравнением , а проекцией на плоскость Oxy – круг радиуса с центром О, описываемый системой неравенств

.

Каждая прямая, проходящая через круг параллельно оси , входит в шар через нижнюю полусферу и выходит через верхнюю полусферу (рисунок). Таким образом, шар можно описать системой неравенств

; .

Расставляя в тройном интеграле пределы интегрирования, получаем:

.

Дата добавления: 2015-10-30