Загальні|спільні| положення

У геодезичній практиці прийнято кожну фізичну величину вимірювати незалежно не менше двох разів, оскільки при одному вимірі неможливо здійснити контроль його правильності. Так, горизонтальний кут вимірюється в положеннях труби теодоліта «круг право» і «круг ліво», лінії вимірюють двічі – в прямому і зворотному напрямі, при геометричному нівелюванні перевищення на станції визначають за чорним і червоним боками рейки, у тригонометричному нівелюванні перевищення визначається в прямому і зворотному напрямі, при нівелюванні II і III класу нівелірний хід прокладають в прямому і зворотному напрямі. Такого роду пари вимірів отримали назву подвійні виміри.

У кожній парі подвійних вимірів|вимірів| має місце різниця

де l' _i, l'' _i – результати двох вимірів|вимірів| одного і того ж об'єкту.

Сукупності різниць d_i при достатньо великій їх кількості дають можливість оцінювати точність вимірів, а у ряді випадків виявляти систематичні похибки.

Зробимо припущення, що з п'яти чинників, розглянутих нами в п.п. 2.3, різниці d_i залежать від виконавця, приладу, методу вимірювання і абсолютно не залежать від об'єкта вимірювання. Тому оцінка точності за різницями подвійних вимірів може виявитися завищеною, оскільки не враховує похибки центрування теодоліта і установки візирних цілей при вимірюванні горизонтальних кутів, осідання башмаків або кілків при геометричному нівелюванні та інші зовнішні чинники.

З цієї причини оцінку точності за різницями подвійних вимірів іноді називають оцінкою точності за внутрішньою збіжністю.

7.2. Оцінка точності за різницями подвійних рівноточних| вимірів|вимірів|

За відсутності систематичних похибок на підставі того, що за похибку вимірів|вимірів| приймають різницю між результатом виміру|виміру| і істинним його значенням можна записати

де Х – істинне значення вимірюваної величини; Δ _i', Δ _i'' – випадкові похибки результатів вимірів|вимірів|.

Підставляючи вирази (7.2) до формули (7.1) і здійснюючи відповідні перетворення, отримаємо

|одержуватимемо|

З отриманого результату випливає, що різниці d_i є істинними похибкам подвійних вимірів. Тому, якщо є ряд подвійних вимірів однієї і тієї ж фізичної величини l'₁, l'₂,…, l'_i,…, l'_n; l''₁, l''₂,…, l''_i,…, l''_n; , де n – кількість результатів в першій і другій серіях вимірів|вимірів|. Тоді справедливі різниці l'₁ – l''₁ = d₁; l'₂ – l''₂ = d₂;…; l'_n – l''_n = d_n.

Середню квадратичну похибку цих різниць із урахуванням|з врахуванням| співвідношення (3.6) можна обчислити|обчисляти| використовуючи вираз|вираження|

Якщо припустити, що m – середня квадратична похибка окремого точкового результату виміру, а також, що за n→∞ середню квадратичну похибку приблизно можна прирівняти до стандарту σ (див. формулу 4.21), то можна записати або зробивши елементарні перетворення отримаємо

Підставляючи значення m_d з формули (7.5) до формули (7.4), отримаємо формулу для обчислення середньої квадратичної похибки за різницями подвійних вимірів:

а для середнього з двох серії вимірів на підставі властивості 1 простої арифметичної середини (див. формулу (5.2)) отримаємо наступне співвідношення

При відносно невеликій кількості вимірів n в кожній серії надійність оцінок, отриманих на основі формул (7.6) і (7.7) можна визначити за формулою або, враховуючи вираз (7.4) і (7.5), перетворити її на формулу вигляду

Далі обчислимо середню квадратичну|обчислятимемо|| похибку простої арифметичної середини двох серій вимірів|вимірів| за формулою

або, підставляючи значення m з|із| формули (7.7), отримаємо

Розглянутий спосіб оцінки точності за різницями подвійних вимірів застосовується тоді, коли різниці d_i у певному ряді результатів вимірів не містять систематичних похибок.

Для виявлення у ряді результатів подвійних вимірів систематичної похибки скористаємося властивістю компенсації випадкових похибок (1.10). За відсутності систематичної похибки величина повинна наближатися до нуля. Інакше можна вважати, що на процес вимірів мали вплив деякі випадкові чинники або різниці d_i містять систематичні похибки θ_d.

Для виявлення факту наявності в результатах вимірів|вимірів| систематичних похибок як робочу гіпотезу приймемо, що різниця подвійних вимірів|вимірів| містить|утримує| середню систематичну похибку

Виключимо цю величину з кожної різниці d_i і формально запишемо

Тоді, підставляючи до формули (7.5) формулу (7.4), а до неї отримані результати – вирази (7.10), отримаємо|одержуватимемо| формулу для обчислення|підрахунку| кількісних значень емпіричної середньої квадратичної| похибки

Враховуючи величину граничної похибки (див. формулу (3.10)), прийнятої в геодезії, а також формулу (7.11), можна скласти наступну|слідуюча| нерівність

при розв’язанні, якої приходимо до висновку, що різниці d_i містять систематичну похибку θ_d. Інакше величина є наслідком різних випадкових чинників.

Розглянемо приклад.

Приклад 7.1. У результаті вимірювання перевищень при двох горизонтах приладу на суміжних станціях за однакових відстаней від інструменту до рейок отримані результати вимірів, які приведені в табл.7.1. Необхідно визначити точність вимірів і їх надійність.

Таблиця 7.1 – Результати вимірювання|виміру| перевищень

№ станції	h1, м	h2, м	d, мм
	-0,479	-0,480	+1
	-0.292	-0.289	-3
	-0.207	-0.209	+2
	-0.175	-0.172	-3
	-0.102	-0.102
	+0.066	+0.065	+1
	+0.124	+0.120	+4
	+0.190	+0.188	+2
	+0.268	+0.271	-3
	+0.303	+0.305	-2

Визначимо середню різницю виміряних|виміряти| величин

Отримана величина набагато менше граничної похибки округлення відліку 0,5 мм, так що припускати наявність в результатах розрахунку різниці d_i систематичної похибки немає ніяких підстав.

За формулою (7.6) знайдемо середню квадратичну| похибку виміряного|виміряти| перевищення

Середню квадратичну похибку відліку по рейці на підставі|основі| (4.21) визначимо з|із| виразу|вираження|

Середню квадратичну похибку середнього перевищення обчислимо використовуючи формулу (5.26) і підставляючи до неї значення m_u.

Визначимо надійність оцінювання середньої квадратичної похибки відліку по рейці m_u використовуючи формулу (7.8)

і надійність оцінювання середньої квадратичної| похибки середнього перевищення М|м-коду| за формулою (7.9)

Порівнюючи показники точності вимірів|вимірів| і їх надійності, можна стверджувати, що виміри|виміри| виконані достатньо|досить| точно і отриманим результатам можна довіряти. Розглянемо|розглядуватимемо| ще один приклад|зразок| оцінювання точності і надійності подвійних рівноточних| вимірів|вимірів|.

Приклад 7.2. Досліджуються результати подвійних рівноточних вимірів, а саме результати зсуву шкал червоного боку пари рейок, які приведені в табл. 7.2.

Аналіз результатів вимірів|вимірів|, приведених у табл. 7.2 показує, що вони мають один знак. Цей факт є|з'являється| ознакою наявності у вимірюваннях|вимірах| систематичного зсунення|зміщення| (похибки). Знайдемо величину цього зсунення|зміщення| за формулою:

Таблиця 7.2 – Результати подвійних рівноточних| вимірів|вимірів|

№ точок|точок|	Відліки	Різниця d, мм	д, мм
Рейка №1	Рейка №2
			+4
			+6	+2
			+4
			+4
			+2	-3
			+3	-1
			+3	-1
			+6	+2

Обчислимо різниці д_і = d – θ, . Результати обчислень|підрахунків| занесені до відповідного стовпця табл. 7.2. Скористаємося формулою (7.11) для обчислення|підрахунку| емпіричної середньої квадратичної| похибки відліку по рейці, отримаємо

Для того, щоб переконатися, що результати вимірів|вимірів| мають систематичну похибку, скористаємося нерівністю (7.12) і, підставивши до неї набутих значень, отримаємо

Результат показує наявність у вимірюваннях систематичної похибки. За формулою (7.8) оцінимо надійність значення m_u

Проведене дослідження дозволяє зробити висновок|висновок|, що червона шкала рейки №1 зміщена відносно рейки №2 на +4 мм. Тому необхідно або замінити одну з рейок в комплекті, або враховувати це зсунення|зміщення| при обчисленні|підрахунку| перевищення за червоним боком рейки.

Дата добавления: 2015-10-29