Интегрирование простейших дробей

I. x-a=t dx=dt

II. x-a=t dx=dt

Интегрирование тригонометрических функций.

∫ cosax sinbxdx, ∫ cosax cosbxdx, ∫ sinax sinbxdx.

где a ≠b, находятся с помощью формул:

sinax cosbx= 1/2(sin(a-b)x+sin(a+ b)x),

Cos ax cos bx = 1/2(cos(a- b)x+ cos(a+b)x),

Sinax sin bx=1/2(cos(a -b)x- cos(a+b)x).

Пример. Найти ∫ sin 2x sin 4xdx. Решение. ∫sin2xsin4xdx=∫1/2(cos(2x-4x) –cos(2x+4x))dx =1/2 ∫ cos2xdx-1/2∫ cos6xdx=1/2 − 1/2 +C= 1/4sin2x- 1/12sin6x+c.

Вычисление интегралов вида: ∫ R (sinx,cosx)dx, где − R рациональная функция. Если выполнено:

R(-sinx, cosx) =-R (sinx cosx), то подстановка t = cos x;

R(sinx,- cosx) =-R (sinx, cosx), то подстановка t = sin x;

R(-sinx, -cosx) =R (sinx cosx), то подстановка t = tg x;

Пример. Найти ∫ cos³xdx. Решение. Пусть t= sin x, dt= cos³xdx, cos²x=1- sin²x.

Тогда ∫ cos ³xdx=∫ cos ²x cos xdx= ∫(1-t²)dt=∫1⋅dt − ⋅ ∫t²dt = t- + C= sinx- + C

Если ни одно из вышеуказанных равенств не выполняется, то

целесообразно применять так называемую универсальную

тригонометрическую подстановку: t =tg x/2, sinx= (2tg x/2):(1+tg²x/2)=2t:(1+y²), cos x=(1-tg²x/2):(1+tg²x/2)=(1-t²):(1+t²), x = 2 arctg t, dx= 2dt/(1+ t²)

Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Примеры.

Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную.

Интеграл вида , где R-рациональная функция, n- натуральное число;a,b,c,d-постоянные.

С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда

Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Пример.

Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.

Геометрич смысл опр инт-ла. Если f(x) непрерывн. и положит-а на отр-ке от а до в, то инт предст-ет собой S криволин трапеции, огранич-ой линиями y=0, x=a, x=b, y=f(x). Экономич. Опр. Инт. Исп-ся при рассмотр-и задач, в к-х нужно сумм-ть рез-ты возд-я нек-ой перемен-ой велич., на заданном промеж-ке. Напр., если y=f(x)-пред. изд-ки пр-ва, где х-объём пр-ва, то -изд-ки пр-ва при изменении объёма от а до b.
18.Свойства определенного интеграла.

Дата добавления: 2015-10-31