Справочная информация. Как известно, далеко не всякое алгебраическое уравнение

Как известно, далеко не всякое алгебраическое уравнение

может быть решено аналитически. Это относится к большинству трансцендентных уравнений и к алгебраическим уравнениям выше четвёртого порядка. Однако точное решение уравнений на практике часто и не требуется. Чтобы считать задачу решённой, достаточно бывает отыскать значения корней с требуемой степенью точности. Для получения таких решений разработаны численные методы.

Решение нелинейных уравнений осу­­­ществляется в два этапа. На первом этапе производится отделение корней, то есть поиск достаточно малых отрезков локализации, каждый из которых содержит только один корень урав­нения. При этом желательно, что­бы на каждом из них функция f (x) была монотонна вместе со своей первой и второй производными. Для этого используется график функции y = f (x), точки пересечения которого с осью абсцисс соответствуют корням исходного уравнения. Случай, когда корнем уравнения является точка касания графика и оси абсцисс, здесь не рассматривается. Всё это позволяет выделить отрезки [ a, b ], содержащие только один корень (см. рис 1). При этом для непрерывной функции f (x) будет выполняться неравенство f (a)· f (b) < 0.

На втором этапе внутри выделенных отрезков вычисляются значения каждого из корней уравнения с заданной точностью. Для этого используются два основных итерационных подхода: последовательное уточнение первоначального приближения значения корня, взятого из выделенного отрезка, и сужение выделенного отрезка, содержащего корень.

Методы последовательного уточнения начального приближенного значения корня. К этим методам относятся метод простых итераций, метод Ньютона и ряд других. Ониобладают высокойэффективностью, но их применение связано с рядом ограничений, накладываемых на свойства функции f (x).

Дата добавления: 2015-07-08