Вводная информация

СЕМИНАР 11

Кривые второго порядка на плоскости.

Вводная информация

Уравнение линии на плоскости.

Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости в декартовой системе координат называется уравнение , где - функция двух переменных и . В полярной системе координат уравнение линии имеет вид . Если уравнение разрешимо относительно переменной , то уравнение линии можно записать в виде .

Так как координаты точки, находящейся на линии связаны уравнением, то линия является одномерным геометрическим объектом. Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями и ,

сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Линию на плоскости можно также задать параметрическим образом с помощью двух уравнений

где и - координаты точки, лежащей на линии, а - переменная, называемая параметром.

Приведем примеры некоторых линий.

1) окружность радиуса с центром в начале координат.

Уравнения такой окружности имеют вид:

а) - в декартовой системе координат;

б) - в полярной системе координат;

в) - в параметрическом виде.

2) циклоида.

В параметрическом виде уравнение циклоиды имеет вид

Такую кривую описывает точка на окружности радиуса , которая катится без скольжения по неподвижной прямой.

3) астроида.

Астроида задается уравнениями:

а) - в декартовой системе координат;

б) - в параметрическом виде.

Такую кривую описывает точка на окружности радиуса , которая катится без скольжения по внутренней стороне окружности радиуса .

4) кардиоида.

Уравнение кардиоиды в полярной системе координат имеет вид

.

Эту кривую описывает точка окружности радиуса , катящаяся по окружности такого же радиуса с внешней стороны.

5) улитка Паскаля.

Уравнение кардиоиды является частным случаем () уравнения улитки Паскаля .

6) лемниската Бернулли.

Лемниската Бернулли задается уравнениями:

а) - в декартовой системе координат;

б) - в полярной системе координат.

Произведение расстояний каждой точки лемнискаты Бернулли до двух данных точек и равно квадрату расстояния между точками и .

7) декартов лист.

Декартов лист задается уравнениями:

а) - в декартовой системе координат;

б) - в параметрическом виде.

8) эвольвента (развертка) окружности.

В параметрическом виде эта кривая задается уравнениями

9) трехлепестковая роза.

В полярной системе координат эта кривая задается уравнением

10) четырехлепестковая роза.

Ее уравнение имеет вид .

11) спираль Архимеда.

Эта кривая в полярной системе координат описывается уравнением

12) логарифмическая спираль.

Ее уравнение имеет вид

13) гиперболическая спираль.

Эта кривая задается уравнением вида

Дата добавления: 2015-07-08