Вводная информация. Области определения функций, четность и нечетность функций

СЕМИНАР 14

Области определения функций, четность и нечетность функций, периодичность функций, обратные функции, сложные функции, неявно заданные функции, параметрически заданные функции.

Вводная информация

Область определения функции задается вместе с определением самой функции, как часть этого определения. Если же функция задается только формулой, то предполагается, что ее область определения совпадает с множеством значений переменной, при которых формула, определяющая функцию, имеет смысл.

Определение. Функция называется четной функцией, если она удовлетворяет свойству , и нечетной функцией, если .

Определение. Функция называется периодической, если существует такое положительное число , что для любого значения независимой переменной справедливо равенство . Число называют периодом функции . Наименьшее значение этого числа называется основным периодом (часто просто периодом).

Пусть на некотором множестве задана функция (т.е. множество является областью определения функции ) с областью значений . Пусть также на некотором множестве, включающем в себя множество , задана функция с областью значений . Тогда можно определить композицию функций и , определяемую правилом . Функция отображает множество в множество и называется сложной функцией. Заметим, что определенная выше композиция функций и , существует тогда и только тогда, когда область определения функции включает в себя область значений функции .

Пусть функция взаимно однозначно отображает множество на множество . В этом случае можно определить обратную к функцию , отображающую взаимно однозначно на и удовлетворяющую свойствам . Для нахождения обратной функции к функции, заданной формулой , необходимо разрешить данное уравнение относительно : . Функции и будут взаимно обратными.

Функции вида будем называть явными функциями. Рассмотрим уравнение , связывающее две переменные. В некоторых случаях это уравнение можно разрешить относительно переменной (или переменной ) и получить явную функцию (или ). В других случаях этого сделать нельзя (например, ). В любом случае назовем неявной функцией независимой переменой функцию, значения которой находятся из уравнения , связывающего и и неразрешенного относительно .

Рассмотрим две функции одной и той же переменной . Задание этих функций означает задание функциональной зависимости между переменными и .

Определение. Задание функциональной зависимости между двумя переменными, состоящее в том, что обе переменные определяются каждая в отдельности как функции одной и той же вспомогательной переменной, называется параметрическим, а вспомогательная переменная – параметром. Нахождение непосредственной связи между переменными и без участия переменной называется исключением параметра. Исключение параметра осуществляется следующим образом: находим обратную функцию к функции () и подставляем ее вместо параметра в функцию , получая функциональную зависимость между переменными и .

ЗАДАЧИ

Дата добавления: 2015-07-08