Бесконечно малая последовательность.

Определение. Последовательность называется бесконечно малой последовательностью, если .

Теорема. Если последовательность имеет предел, равный , то , где - бесконечно малая последовательность. Верно и обратное утверждение: если , где - бесконечно малая последовательность, то , т.е. равенство - необходимое и достаточное условие того, что - предел последовательности .

Отметим основные свойства бесконечно малых последовательностей:

1) сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

2) произведение любого числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность;

3) произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая

последовательность.

Определение. Последовательность называется бесконечно большой последовательностью, если такое, что .

Для бесконечно больших последовательностей будем писать или .

Теорема. 1) Если - бесконечно малая последовательность, то - бесконечно большая последовательность. 2) Если - бесконечно большая последовательность, то - бесконечно малая последовательность.

Вычисление пределов в случае неопределенностей.

Замечание 1. Использование свойств пределов, приведенных выше, при их вычислении теряет смысл в случаях: , которые называются неопределенностями. Вычисление пределов в этих случаях называется раскрытием неопределенностей.

Замечание 2. Неопределенности типа сводятся к неопределенности вида с помощью вычисления логарифмической функции от рассматриваемой последовательности, т.е. вычисление предела заменяется на вычисление предела . При раскрытии неопределенности вида часто используют знание второго замечательного предела.

Замечание 3. Неопределенность вида заменяется неопределенностью или неопределенностью с помощью преобразования .

Замечание 4. Неопределенность вида можно заменить на неопределенность (или наоборот) преобразованием .

Замечание 5. Пределы , имеющие неопределенность вида , часто вычисляются делением числителя и знаменателя на старшую степень .

Замечание 6. Пределы , представляющие неопределенность , вычисляют путем умножения и деления разности на сумму (сопряженную величину).

ЗАДАЧИ

Дата добавления: 2015-07-08