Бесконечно большие и бесконечно малые функции.

Определение. Функция называется бесконечно большой в точке справа (слева), если для любой сходящейся к последовательности такой, что , соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой.

В этих случаях будем писать ().

Пусть функция определена на полупрямой .

Определение. Функция называется бесконечно большой при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность является бесконечно большой.

Для такой функции будем писать .

Аналогичным образом определяется бесконечно большая функция при , для которой .

Наряду с бесконечно большими функциями можно ввести понятие бесконечно малых функций.

Определение. Функция называется бесконечно малой при (в точке ), если .

Рассмотрим вопрос о сравнении бесконечно малых функций.

Определение: Функции и называются:

а) бесконечно малыми одного порядка при , если

;

б) эквивалентными бесконечно малыми при , если

Определение. Если , то говорят, что функция является бесконечно малой более высокого порядка при , чем функция , и пишут при ( равно «о малое» от при ).

Свойства символа «о малое».

Отметим ряд свойств символа «о малое», которые полезны при сравнении бесконечно малых функций:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) где - конечные числа;

11) ;

12) если , то и .

Свойства пределов функции.

При вычислении пределов функций, используют их свойства, аналогичные свойствам пределов последовательностей.

Пусть и , тогда

1) передел суммы (разности) функций равен сумме (разности) их пределов: ;

2) предел произведения функций равен произведению их пределов:

(следствие: постоянный множитель можно выносить за знак предела ());

3) предел частного функций равен частному их пределов: ;

4) предел степени, являющейся функцией, функции равен степени, совпадающей с пределом первой функции, от предела второй функции:

(первое следствие: предел натуральной степени от функции равен этой степени от ее предела (),

второе следствие: предел корня - ой степени от функции равен корню этой же степени от предела функции()).

Замечание. Методы раскрытия неопределенностей вида при вычислении пределов функций аналогичны методам, используемым при вычислении пределов последовательностей (деление на старшую степень, умножение на сопряженное выражение, вычисление предела от логарифма функции, использование замечательных пределов).

ЗАДАЧИ

Дата добавления: 2015-07-08