Предел функции.

СЕМИНАР 15

Определение предела функции и его вычисление.

Вводная информация

Предел функции.

Рассмотрим функцию , определенную на множестве .

Определение(по Коши). Число называется пределом функции в точке (при ), если такое, что , удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство .

Для обозначения предела функции в точке используется запись .

Определение (по Гейне). Число называется пределом функции в точке (при ), если для любой сходящейся к последовательности такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Точка , к которой стремится независимая переменная , называется ее предельной точкой.

Теорема (о сохранении знака). Если предел в точке положителен, то все значения функции в некоторой окрестности этой точки (за исключением, может быть, самой точки ) положительны.

Теорема (об ограниченности функции). Если функция имеет предел в точке , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.

Определение(по Коши). Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если такое, что , удовлетворяющих условиям , выполняется неравенство .

Правый предел обозначается или .

Определение (по Гейне). Число называется правым (левым)пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности такой, что , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Левый предел обозначается или .

Теорема. Если в точке существуют правый и левый пределы и эти пределы равны, т.е. , то существует предел . Верно и обратное утверждение.

Пусть и функция определена на полупрямой .

Определение (по Коши). Число называется пределом функции при , если , такое, что выполняется неравенство .

Аналогично определяется предел функции при .

Определение (по Гейне). Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Аналогично определяется предел функции при .

Теорема. Данные определения пределов по Коши и по Гейне эквивалентны.

Дата добавления: 2015-07-08