Читайте также:
|
СЕМИНАР 15
Определение предела функции и его вычисление.
Вводная информация
Предел функции.
Рассмотрим функцию 
, определенную на множестве 
.
Определение(по Коши). Число 
называется пределом функции в точке 
(при 
), если 
такое, что 
, удовлетворяющих условиям 
, выполняется неравенство 
.
Для обозначения предела функции в точке используется запись 
.
Определение (по Гейне). Число называется пределом функции в точке (при ), если для любой сходящейся к последовательности 
такой, что 
, соответствующая последовательность значений функции 
сходится к .
Точка , к которой стремится независимая переменная 
, называется ее предельной точкой.
Теорема (о сохранении знака). Если предел в точке положителен, то все значения функции в некоторой окрестности этой точки (за исключением, может быть, самой точки ) положительны.
Теорема (об ограниченности функции). Если функция имеет предел в точке , то она ограничена в некоторой окрестности этой точки.
Определение(по Коши). Число называется правым (левым) пределом функции в точке , если такое, что , удовлетворяющих условиям 
, выполняется неравенство .
Правый предел обозначается 
или 
.
Определение (по Гейне). Число называется правым (левым)пределом функции в точке , если для любой сходящейся к последовательности такой, что 
, соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Левый предел обозначается 
или 
.
Теорема. Если в точке существуют правый 
и левый 
пределы и эти пределы равны, т.е. 
, то существует предел . Верно и обратное утверждение.
Пусть 
и функция определена на полупрямой 
.
Определение (по Коши). Число называется пределом функции при 
, если 
, такое, что 
выполняется неравенство 
.
Аналогично определяется предел функции при 
.
Определение (по Гейне). Число называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности 
соответствующая последовательность значений функции сходится к .
Аналогично определяется предел функции при .
Теорема. Данные определения пределов по Коши и по Гейне эквивалентны.
Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 138 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Вводная информация | | | Бесконечно большие и бесконечно малые функции. |