Вводная информация. Вычисление пределов функций с помощью замечательных пределов

СЕМИНАР 16

Вычисление пределов функций с помощью замечательных пределов, получение асимптотических формул и применение их к вычислению пределов, непрерывность функции, классификация точек разрыва.

Вводная информация

Замечательные пределы.

Замечательными пределами являются:

первый замечательный предел

и второй замечательный предел

.

Асимптотические формулы.

Теорема. Если , то , где , т.е. функция является бесконечно малой функцией при . Верно и обратное утверждение: если , где - бесконечно малая функция при , то .

Рассмотрим первый замечательный предел . Тогда , при этом . Используя полученную формулу, представим функцию в виде . Так как (действительно ), перепишем найденную формулу в виде .

Подобные формулы, которые называют асимптотическими формулами

(или асимптотическими разложениями, или асимптотическими представлениями функций), можно получить для многих функций. Для простейших элементарных функций справедливы оценки:

1) ;

2) ;

3) ,

;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;
8) ;

9) ;

10) ;

11) .

Эти формулы удобно использовать при нахождении пределов функций вида .

Непрерывность функции.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если .

Приведем эквивалентное определение. Функция называется непрерывной в точке , если: 1) она определена в точке ; 2) такое, что при .

Определение. Точка , в которой функция не является непрерывной, называется точкой разрыва этой функции.

Определение. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если существуют конечные односторонние пределы и и выполняются условия: 1) или 2) .

Разность называется скачком функции в точке . Точка разрыва первого рода, удовлетворяющая условию 2), называется точкой устранимого разрыва (разрыв устраняется переопределением значения функции в этой точке ).

Определение. Точку называют точкой разрыва второго рода, если в этой точке имеется разрыв функции, не являющийся разрывом первого рода.

ЗАДАЧИ

---

Дата добавления: 2015-07-08