Читайте также: |
|
.
Это преобразованиеможет быть выполнено многими способами. Например, уравнение
может быть преобразовано как
или .
Далее процесс уточнения корня строится по итерационной схеме
…………
……………
где x 0 – начальное приближенное значение корня на отрезке [ a, b ].
Если последовательностьзначений xk (k = 0, 1, 2,...) имеет конечный предел, то итерационный процесс сходится к точному значению корня x тза бесконечно большое число шагов. Абсолютная и относительная погрешности найденного значения корня xk на k -ом шаге могут быть получены из выражений
, ,
где
, , .
Первое из этих выражений может иметь другие формы записи
, .
Приведённые формулы для вычисления погрешностей требуют решения дополнительной задачи поиска максимума модуля первой производной функции φ (x) на отрезке локализации корня [ a, b ]. В связи с этим на практике итерации завершают при выполнении одного из условий:
или ,
где δ абс и δ отн – задаваемые абсолютная и относительная разницы между соседними значениями приближения корня, соответственно. В этом случае надо помнить, что истинная погрешность определения корня может заметно отличаться от δ абс или δ отн. Поэтому после завершения поиска корня необходимо вычислить истинное значение погрешности решения по приведённым формулам для ε абс или ε отн.
Может случиться так, что последовательность приближённых значений xk (k = 0, 1, 2,...) корня x т не имеет предела. В этом случае метод расходится, и описанная итерационная схема не может быть применена для решения уравнения. Анализ выражения для ε абс позволяет сформулировать условие сходимости итераций. Очевидно, для того, чтобы погрешность ε абс при стремлении k к бесконечности стремилась к нулю и итерации сходились к точному решению, надо обеспечить выполнение следующего неравенства
,
которое на практике обычно заменяется на упрощённое
.
Процесс уточнения корня уравнения методом простых итераций может быть проиллюстрирован графически.
Рис.2. Рис.3.
Как видно на рис.2, для выбранной на отрезке [ a, b ] начальной точки x 0 вычисляется значение функции j (x 0). Абсцисса этой точки с помощью графика функции y = x преобразуетсявновое приближение переменной x 1. Далее процесс повторяется, и находятся значения x 2, x 3,..., xk,... до тех пор, пока не будет выполнено условие завершения итерационного процесса. В данном случае итерационный процесс сходится. На рис.3 показана ситуация, когда метод итераций расходится. Каждое новое значение xk отстоит всё дальше от точного решения уравнения x ти заданная погрешность вычисления недостижима. Такая ситуация характерна для неудачного преобразования уравнения f (x) = 0 к уравнению x = j (x).
Исходя из этого, можно указать способ преобразования исходного уравнения f (x) = 0 к форме, обеспечивающей сходимость итераций. Он основан на том, что исходное уравнениеравносильно уравнению x = x + λ f (x), где λ – отличная от нуля произвольная постоянная, которая выбирается из приближённого условия сходимости итераций , считая j (x) = x + λ f (x).
Рассмотрим работу метода на примере поиска приближённого значения корня уравнения
x 3 – 7.3 x 2 + 16.8 x – 12.2 = 0,
лежащего на отрезке [1, 2], и оценки погрешности его определения.
На первом этапе необходимо построить график левой части уравнения, для чего вычисляются её значения в трёх базовых точках
f (1.0) = 1.03 – 7.3·1.02 + 16.8·1.0 – 12.2 = – 1.70,
f (1.5) = 1.53 – 7.3·1.52 + 16.8·1.5 – 12.2 = – 0.05,
f (2.0) = 2.03 – 7.3·2.02 + 16.8·2.0 – 12.2 = 0.20.
Как видно из рис.4, в качестве начального приближения корня рассматриваемого уравнения можно взять x 0 = 1.5. Следуя алгоритму метода итераций, требуется преобразовать исходное уравнение к виду
x = x + λ (x 3 – 7.3 x 2 + 16.8 x – 12.2).
Здесь
φ (x) = x + λ (x 3 – 7.3 x 2 + 16.8 x –12.2),
а
= 1+ λ (3 x 2 – 14.6 x + 16.8).
Для нахождения значения множителя λ можно воспользоваться условием сходимости метода
.
Отсюда –1 < 1 + 1.65 λ < 1,
–2 < 1.65 λ < 0,
–1.212 < λ < 0,
что позволяет выбрать λ = –0.6.
С использованием в качестве начального значения x 0 = 1.5 выполняется первая итерация
x 1 = 1.5– 0.6(1.53–7.3·1.52 + 16.8·1.5 – 12.2) = 1.53.
Выполнение второй итерации даёт следующий результат
x 2 = 1.53– 0.6(1.533–7.3·1.532 + 16.8·1.53 – 12.2) = 1.5318,
а третья и четвёртая итерации соответственно дают
x 3 = 1.5320, x 4 = 1.53202.
Дата добавления: 2015-07-08; просмотров: 135 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Справочная информация | | | Относительная разница между значениями приближения корня на третьей и четвёртой итерациях составляет |