Устойчивость САУ

Рассмотрим автономную САУ, координаты , которой образуют вектор символ транспонирования, состояния САУ. Пусть вектор является решением векторного нелинейного дифференциального уравнения (ДУ), описывающего поведение САУ, вида

(2.1)

где вещественная невырожденная матрица; вектор, модули координат которого стремятся к нулю при стремлении к нулю со скоростью, большей, чем скорость убывания модулей координат , .

При малых , влияние вектора на вектор скорости изменения вектора мало по сравнению с вектором Пренебрегая слагаемым , называемым остаточным членом, получают линеаризованное ДУ .

Описание САУ исходным (2.1) и линеаризованным ДУ преследует цель исследования устойчивости её положения равновесия в начале координат описываемое тривиальным решением этих уравнений. Для этого требуется исследование всех решений этих ДУ при всевозможных ненулевых начальных отклонениях.

Исследование всех решений линейного ДУ не представляет принципиальных затруднений. Для нелинейного ДУ (2.1) такое исследование сопряжено в общем случае с решением ряда концептуальных проблем [1].

Все решения линейного ДУ формально описываются одним выражением

, (2.2)

где матричный экспоненциал полностью определяется собственными значениями (числами) матрицы ,.которые являются корнями характеристического уравнения

(2.3)

1. Если все корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части то все решения (2.2) удовлетворяют условию при для любых . Положение равновесия в начале координат линейной системы в этом случае называют асимптотически устойчивым в целом или экспоненциально устойчивым [2].

2. Если один из корней равен нулю и (или) имеются пары различных мнимых корней, то решение (2.2) не затухает до нуля при оставаясь ограниченным. Положение равновесия линейной системы в этом случае называют устойчивым [3].

3. Если среди найдется хотя бы один такой, что либо имеются нулевые и чисто мнимые корни с кратностью не менее двух, то решение (2.2) при при любых ненулевых начальных значениях вектора состояния Положение равновесия в этом случае называют неустойчивым.

Корни удобно рассматривать как точки комплексной плоскости, с абсциссами и ординатами равными вещественной и мнимой частями корней. Корни с левые, располагаются слева от мнимой оси, корни с правые, располагаются справа, а корни с располагаются на мнимой оси комплексной плоскости. При изменении параметров САУ корни меняются, описывая траектории на комплексной плоскости. Траектории корней называют корневыми годографами. Если годограф вещественного корня или пара годографов комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения пересекают мнимую ось слева направо, то условия асимптотической устойчивости решения нарушаются. Мнимая ось комплексной плоскости рассматривается как граница устойчивости. Для вещественных корней–это апериодическая, а для комплексных – колебательная граница устойчивости.

Для линейной САУ, строго описываемой однородными ДУ , из устойчивости её положения равновесия в нуле следует устойчивость любого другого режима работы, описываемого неоднородным ДУ где матрица входа Поэтому линейные САУ удовлетворяющие условиям пп.1,2,3, называют соответственно устойчивыми или неустойчивыми. Для нелинейных САУ по условиям устойчивости решения линеаризованного ДУ можно судить лишь об устойчивости только того режима, для которого получено уравнение (2.1), исходя из теории первого метода Ляпунова.

Теорема1(об устойчивости). Если все корни характеристического уравнения системы (2.3) левые, то решение исходной системы (2.1) асимптотически устойчиво при малых .

Теорема 2 (о неустойчивости). Если решение линеаризованного ДУ неустойчиво, то тривиальное решение исходного уравнения также неустойчиво.

Случаи, когда характеристическое уравнение D(s)º0 линеаризованной системы имеет простые (некратные) корни на мнимой оси называют критическими. В критических случаях устойчивость или неустойчивость решения x(t)º0 системы (2.1) зависит от членов, отбрасываемых при линеаризации. По линеаризованному уравнению судить об устойчивости исходной системы в этих случаях нельзя.

Дата добавления: 2015-07-08