Функции мнимого аргумента

Цилиндрические функции можно рассматривать не только при действительных, но и при комплексных значениях аргумента. Рассмотрим цилиндрические функции 1-го рода от чисто мнимого аргумента.

Подставляя в ряд, определяющий J _ν(x), значение ix вместо x, получаем

, (15)

где

(16)

- вещественная функция, связанная с J _ν(ix) соотношением

, или .

В частности, при ν=0

(17)

Из ряда (16) видно, что I _ν(x) являются монотонно возрастающими функциями, имеющими при x= 0 нуль ν -го порядка. Пользуясь асимптотической формулой (5), получим, что для I _ν(x) должна иметь место асимптотическая формула

, (18)

при больших значениях аргумента x.

Аналогично вводится I _-ν(x). Функции I _νи I _-ν при нецелом ν линейно независимы, так как в точке x=0 при ν>0 функция I _ν(x) имеет нуль ν-го порядка, а I _-ν(x) – полюс x =0. Если ν=n – целое число, то I _-n(x) = I _n(x).

Цилиндрические функции мнимого аргумента являются решениями уравнения

(19)

и, в частности, функция I ₀(x) удовлетворяет уравнению

. (20)

Наряду с функцией I _ν(x) рассматривают функцию Макдональда K _ν(x), определяемую с помощью функции Ханкеля чисто мнимого аргумента

. (21)

K _ν(x) является вещественной функцией x. Формула (12) и (13) дают

при ν≠n,

. (22)

Пользуясь асимптотическим выражением для , находим:

(23)

Формулы (23) и (18) показывают, что K _ν(x) экспоненциально убывают, а I _ν(x) экспоненциально возрастают при x→ . Отсюда следует линейная независимость этих функций, а также возможность представлений любого решения уравнения (19) в виде линейной комбинации

.

В частности, если y ограничено на бесконечности, то A =0 и B =0 и y = AI _ν(x).

Из линейной независимости I _νи K _νследует, что K _ν(x) имеет в точке x =0 полюс ν -го порядка (K _ν(x) ) при ν≠0 и логарифмическую особенность при ν= 0.

при x →0.

Наиболее важное значение имеет функция

. (23)

Дата добавления: 2015-07-08