Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Вычисление тройного интеграла

Читайте также:
  1. Вычисление арифметических выражений
  2. Вычисление выборочных характеристик распределения
  3. Вычисление двойного интеграла
  4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
  5. Вычисление значения выражения
  6. Вычисление значения числового выражения, содержащего степень.
  7. Вычисление интегралов

 

1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному

Пусть функция f(x;y;z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например Oz). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.

Опишем около тела (V) цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Пусть (Pz) - проекция тела (V) на плоскость XOY. Линия касания этой цилиндрической поверхности с поверхностью (S) разбивает (S) на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть нижняя часть поверхности задана уравнением z=z1(x;y), а верхняя – уравнением z=z2(x;y), где z1(x;y), z2(x;y) - однозначные непрерывные функции, заданные на (Pz). Тогда сводится к последовательному взятию внутреннего интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области (Pz):

Предположим теперь, что область (Pz) тоже имеет простую форму, то есть любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает контур области (Pz) не более, чем в двух точках. Через a и b обозначим абсциссы самой левой и самой правой точек на контуре области (Pz). Эти точки делят контур на две части, на одной из которых прямые параллельные оси Oy входят в область (Pz), а на другой – выходят. Каждая из этих частей имеет свое уравнение. Первая: y=y1(x), вторая: y=y1(x) (a£x£b). В этом случае

,

то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Порядок интегрирования может быть другим. Для этого тело (V) надо проектировать на плоскость XOZ или YOZ. Например, спроектируем на XOZ, (Ру) - проекция на XOZ. Тогда

.

Пример 1.Вычислить , где (V) - тетраэдр, ограниченный плоскостями x=0, y=0, z=0 и x+y+z=1.

D Спроектируем телона плоскость XOY. Проекция P - треугольник со сторонами x=0, y=0, x+y=1. Если x и y – фиксированные, то точка может перемещаться от плоскости z=0 (XOY)до плоскости x+y+z=1. Отсюда z=1-x-y. Итак, если (x;y)Î(V), то изменяется от 0 до . Следовательно, .

Сведем двойной интеграл к повторному.

Если - фиксировано (0£х£1) то может изменяться от прямой (ось Ох) до прямой y+x=1 (y=1-x). Следовательно,

. D


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 240 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Понятие двойного интеграла | Условия существования двойного интеграла | Основные свойства двойного интеграла | Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием | Замена переменных в двойном интеграле | Приложения двойного интеграла |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Определение тройного интеграла и условия его существования| Организация фондового рынка. Фондовая биржа

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.014 сек.)