Вычисление тройного интеграла

1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному

Пусть функция f (x; y; z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например O z). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.

Опишем около тела (V) цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси O z. Пусть (P_z) - проекция тела (V) на плоскость XOY. Линия касания этой цилиндрической поверхности с поверхностью (S) разбивает (S) на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть нижняя часть поверхности задана уравнением z = z ₁(x; y), а верхняя – уравнением z = z ₂(x; y), где z ₁(x; y), z ₂(x; y) - однозначные непрерывные функции, заданные на (P_z). Тогда сводится к последовательному взятию внутреннего интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области (P_z):

Предположим теперь, что область (P_z) тоже имеет простую форму, то есть любая прямая, параллельная оси O y, пересекает контур области (P_z) не более, чем в двух точках. Через a и b обозначим абсциссы самой левой и самой правой точек на контуре области (P_z). Эти точки делят контур на две части, на одной из которых прямые параллельные оси O y входят в область (P_z), а на другой – выходят. Каждая из этих частей имеет свое уравнение. Первая: y = y ₁(x), вторая: y = y ₁(x) (a £ x £ b). В этом случае

,

то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Порядок интегрирования может быть другим. Для этого тело (V) надо проектировать на плоскость XOZ или YOZ. Например, спроектируем на XOZ, (Р_у) - проекция на XOZ. Тогда

.

Пример 1. Вычислить , где (V) - тетраэдр, ограниченный плоскостями x= 0, y= 0, z= 0 и x+y+z= 1.

D Спроектируем телона плоскость XOY. Проекция P - треугольник со сторонами x= 0, y= 0, x+y= 1. Если x и y – фиксированные, то точка может перемещаться от плоскости z =0 (XOY)до плоскости x+y+z= 1. Отсюда z=1-x-y. Итак, если (x; y)Î(V), то изменяется от 0 до . Следовательно, .

Сведем двойной интеграл к повторному.

Если - фиксировано (0£ х £1) то может изменяться от прямой (ось О х) до прямой y + x =1 (y =1 -x). Следовательно,

. D

Дата добавления: 2015-07-07