Читайте также: |
|
1. Вычисление тройного интеграла сведением к повторному
Пусть функция f(x;y;z) непрерывна в некоторой области (V). Пусть поверхность (S), ограничивающая тело (V), пересекается не более чем в двух точках любой прямой, параллельной одной из осей координат (например Oz). Более сложные области сводятся к рассматриваемой путем разбиения на части.
Опишем около тела (V) цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси Oz. Пусть (Pz) - проекция тела (V) на плоскость XOY. Линия касания этой цилиндрической поверхности с поверхностью (S) разбивает (S) на две части: верхнюю и нижнюю. Пусть нижняя часть поверхности задана уравнением z=z1(x;y), а верхняя – уравнением z=z2(x;y), где z1(x;y), z2(x;y) - однозначные непрерывные функции, заданные на (Pz). Тогда сводится к последовательному взятию внутреннего интеграла по переменной z (при постоянных x и y) и внешнего двойного интеграла по области (Pz):
Предположим теперь, что область (Pz) тоже имеет простую форму, то есть любая прямая, параллельная оси Oy, пересекает контур области (Pz) не более, чем в двух точках. Через a и b обозначим абсциссы самой левой и самой правой точек на контуре области (Pz). Эти точки делят контур на две части, на одной из которых прямые параллельные оси Oy входят в область (Pz), а на другой – выходят. Каждая из этих частей имеет свое уравнение. Первая: y=y1(x), вторая: y=y1(x) (a£x£b). В этом случае
,
то есть тройной интеграл сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Порядок интегрирования может быть другим. Для этого тело (V) надо проектировать на плоскость XOZ или YOZ. Например, спроектируем на XOZ, (Ру) - проекция на XOZ. Тогда
.
Пример 1.Вычислить
, где (V) - тетраэдр, ограниченный плоскостями x=0, y=0, z=0 и x+y+z=1.
D Спроектируем телона плоскость XOY. Проекция P - треугольник со сторонами x=0, y=0, x+y=1. Если x и y – фиксированные, то точка может перемещаться от плоскости z=0 (XOY)до плоскости x+y+z=1. Отсюда z=1-x-y. Итак, если (x;y)Î(V), то изменяется от 0 до
. Следовательно,
.
Сведем двойной интеграл к повторному.
Если - фиксировано (0£х£1) то
может изменяться от прямой
(ось Ох) до прямой y+x=1 (y=1-x). Следовательно,
. D
Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 240 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Определение тройного интеграла и условия его существования | | | Организация фондового рынка. Фондовая биржа |