Основные свойства двойного интеграла

1. Если функция f (x; y) интегрируема на области Р и с = const, то функция cf интегрируема на Р и справедливо:

. (1)

Доказательство.

Пусть Т - произвольное разбиение области Р на части Р_k. Для этого разбиения и функции cf составим интегральную сумму.

. (2)

Так как f интегрируема, то Тогда правой части (2): . Значит, существует и левой части (2): , т.е. функция cf интегрируема на Р. Переходя к в (2), получаем (1).

2. Если функции f (x; y) и g (x; y) интегрируемы на Р, то и их алгебраическая сумма интегрируема на Р и справедливо равенство

. (3)

Свойство 2 справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.

3 (Аддитивность ). Если область Р разбита на 2 квадрируемые области без общих внутренних точек, и f интегрируема на , то она интегрируема и на Р, и справедливо равенство

. (4)

Доказательство.

Рассмотрим какое-либо разбиение области Р на части причём линию, разбивающую область Р на части , будем считать одной из линий этого разбиения. При таком разбиении все части области Р можно разбить на 2 группы: в одну группу отнесем все части, содержащиеся в , а в другую все части, содержащиеся в . Тогда интегральную сумму разобьём на 2 суммы, в каждую из соберём отдельно слагаемые, соответствующие областям и :

.

Т.к. f интегрируема по областям , то правой части этого равенства. Значит, существует и предел левой части. Переходя к , получим (4).

4. Если f (x; y)³0 на Р и интегрируема на Р, то .

Доказательство.

" Т . Значит, .

5. Если функции f и g интегрируемы на Р и на этой области f (x; y)£ g (x; y), то .

Доказательство.

Рассмотрим функцию F(x; y)= f (x; y)- g (x; y). Т.к. F(x; y)£0 на Р, то согласно свойству 4 . Применяя свойство 2, получим

.

Отсюда .

6. Если функция f интегрируема на Р, то функция интегрируема на Р и справедливо .

7 (Теорема о среднем значении двойного интеграла). Если f (x; y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, то

,

где Р – площадь области Р.

Замечание. где dP элемент площади. Если область Р разбить на части Р_k с помощью прямых, параллельных осям координат, то области P_k будут прямоугольными, за исключением граничных. Тогда элемент площади dP = dxdy.

Действительно, . При l ®0 и . Тогда , (дифференциал функции - главная часть ее приращения). Следовательно, при l ®0 . При l ®0 площади граничных частей стремятся к нулю.

В дальнейшем .

Дата добавления: 2015-07-07