Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Основные свойства двойного интеграла

Читайте также:
  1. I. Общие свойства хрящевых тканей
  2. I. Основные сведения
  3. I. Основные сведения
  4. I. СВОЙСТВА АТМОСФЕРЫ.
  5. II. Основные задачи и функции
  6. II. Основные элементы гиалиновой хрящевой ткани
  7. II. Основные элементы ткани

1. Если функция f(x;y) интегрируема на области Р и с=const, то функция cf интегрируема на Р и справедливо:

. (1)

Доказательство.

Пусть Т - произвольное разбиение области Р на части Рk. Для этого разбиения и функции cf составим интегральную сумму.

. (2)

Так как f интегрируема, то Тогда правой части (2): . Значит, существует и левой части (2): , т.е. функция cf интегрируема на Р. Переходя к в (2), получаем (1).

2. Если функции f(x;y) и g(x;y) интегрируемы на Р, то и их алгебраическая сумма интегрируема на Р и справедливо равенство

. (3)

Свойство 2 справедливо для любого конечного числа интегрируемых функций.

3 (Аддитивность ). Если область Р разбита на 2 квадрируемые области без общих внутренних точек, и f интегрируема на , то она интегрируема и на Р, и справедливо равенство

. (4)

Доказательство.

Рассмотрим какое-либо разбиение области Р на части причём линию, разбивающую область Р на части , будем считать одной из линий этого разбиения. При таком разбиении все части области Р можно разбить на 2 группы: в одну группу отнесем все части, содержащиеся в , а в другую все части, содержащиеся в . Тогда интегральную сумму разобьём на 2 суммы, в каждую из соберём отдельно слагаемые, соответствующие областям и :

.

Т.к. f интегрируема по областям , то правой части этого равенства. Значит, существует и предел левой части. Переходя к , получим (4).

4. Если f(x;y)³0 на Р и интегрируема на Р, то .

Доказательство.

"Т . Значит, .

5. Если функции f и g интегрируемы на Р и на этой области f(x;yg(x;y), то .

 

Доказательство.

Рассмотрим функцию F(x;y)=f(x;y)-g(x;y). Т.к. F(x;y)£0 на Р, то согласно свойству 4 . Применяя свойство 2, получим

.

Отсюда .

6. Если функция f интегрируема на Р, то функция интегрируема на Р и справедливо .

7 (Теорема о среднем значении двойного интеграла). Если f(x;y) непрерывна на замкнутой квадрируемой области Р, то

,

где Р – площадь области Р.

Замечание. где dP элемент площади. Если область Р разбить на части Рk с помощью прямых, параллельных осям координат, то области Pk будут прямоугольными, за исключением граничных. Тогда элемент площади dP=dxdy.

Действительно, . При l®0 и . Тогда , (дифференциал функции - главная часть ее приращения). Следовательно, при l®0 . При l®0 площади граничных частей стремятся к нулю.

В дальнейшем .


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 188 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Понятие двойного интеграла | Замена переменных в двойном интеграле | Приложения двойного интеграла | Определение тройного интеграла и условия его существования | Вычисление тройного интеграла |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Условия существования двойного интеграла| Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.009 сек.)