Замена переменных в двойном интеграле

1. Отображение плоских областей

Рассмотрим 2 замкнутые области: G на плоскости UOV и D на плоскости XOY (каждая из этих областей может быть и не ограничена, в частности, может охватить всю плоскость). Пусть система функций

(1)

отображает взаимно однозначно область G на область D. Так как отображение взаимно однозначно, то функции (1) определяют систему функций

которые отображают область D на область G.

Возьмём точку P ₀(u ₀; v ₀)Î G. Проведём прямые u = u ₀ и v = v ₀. Система (1) отобразит Р ₀ в точку M ₀(x ₀; y ₀) D. Очевидно, прямая u=u ₀ отобразится на некоторую кривую в плоскости XOY. Из (1) получим уравнение образа прямой u=u ₀:

Эти формулы задают параметрические уравнения кривой. (Уравнение u (x; y)= u ₀ - неявное уравнение той же кривой). Эта кривая называется кривой u=const. Придавая различные значения, будем получать различные линии u=const. Следовательно: u=const –семейство линий. Так как различные линии u = u ₀ не пересекаются, то различные линии из семейства u=const тоже не пересекаются (так как отображение G на D взаимно однозначно).

Аналогично, образом прямой линии v = v ₀ является кривая линия, уравнения которой

(неявное уравнение - v (x; y)= v ₀). Эта линия называется v=const. Различные линии из семейства кривых v=const не пересекаются. Так как прямые u = u ₀ и v = v ₀ пересекаются в единственной точке P ₀(u ₀; v ₀), а (1) – взаимно однозначное отображение G на D, то кривые u (x; y)= u ₀ и v (x; y)= v ₀ в плоскости XOY также пересекается в единственной точке M ₀(x ₀; y ₀). Это означает, что числа u ₀ и v ₀ однозначно определяют точку M ₀(x ₀; y ₀) на плоскости XOY. Значит, эти числа могут служить координатами этой точки. Числа u ₀ и v ₀ называются криволинейными координатами точки M ₀ (так как координатные линии u = u ₀ и v = v ₀ на плоскости XOY являются кривыми линиями). Т.о., сетке декартовых координатных линий в плоскости UOV (два семейства перпендикулярных прямых) в плоскости XOY будет соответствовать сетка криволинейных линий, состоящая из двух семейств: u=const и v=const. Через любую точку M (x; y) пройдёт только одна координатная линия u=const и только одна координатная линия v=const.

u,v - криволинейные координаты точки М.

Тогда точка имеет прямоугольные координаты (x; y) и криволинейные координаты (u; v).

Примером криволинейных координат являются полярные координаты . Полярные координаты связаны с декартовыми известными соотношениями:

(2), .

Будем рассматривать переменные r и j не как полярные координаты точки в плоскости XOY, а как прямоугольные координаты в другой плоскости rOj. Тогда формулы (2) отображают область плоскости rOj на всю плоскость XOY. Правда, это отображение не является взаимно однозначным (любой точке плоскости в плоскости XOY соответствует одна и та же точка (0;0)). Если взять область то (2) - взаимно однозначное отображение области на плоскость XOY с проколотым началом координат.

Как выглядят семейства линий r=const и j=const?

r=const: Если то это семейство концентрических окружностей с центром в точке (0;0);

2 p

j=const: - лучи, исходящие из точки (0; 0).

Геометрический смысл связи полярных и декартовых

координат.

Совместим декартову и полярную системы координат: полюс полярной системы - в точке (0;0), полярная ось – ось Ox. Тогда из D ОАМ следует

2. Площадь в криволинейных координатах

Пусть система (1) взаимно однозначно отображает замкнутую область G плоскости UOV на замкнутую область D плоскости XOY. Предположим, что функции j и y непрерывны вместе со своими частными производными на G. Предположим, что G и D квадрируемы.

Задача. Выразить площадь области D с помощью криволинейных координат u, v.

Разобьем область G на частичные области прямыми, параллельными осям Ou и Ov. Тогда область D разобьётся в силу преобразования (1) на криволинейные четырёхугольники. Рассмотрим внутренний элементарный прямоугольник в плоскости UOV с вершинами в точках

(D u,D v >0).

Ему соответствует элементарный криволинейный четырёхугольник в плоскости XOY с вершинами

.

Найдём его площадь .

Если D u и D v достаточно малы, то дуги тоже малы, следовательно, их приблизительно можно считать прямолинейными. Кроме того, приращения функций x (u; v), y (u; v) приблизительно заменим их дифференциалами. Тогда

.

Аналогично,

,

, .

А также

,

,

.

Тогда приблизительно координаты вершин четырёхугольника ABCD:

,

, .

(Здесь для краткости: x (u; v)= x, y (u; v)= y, все производные вычислены в т. (u; v)).

Из координат видим, что проекции отрезков AB и CD на обе оси координат соответственно равны, следовательно, AB ║ CD. То же можно сказать и об отрезках AD и BC: AD ║ BC. Значит, приближенно ABCD – параллелограмм.

.

Из геометрии известно, что , где :

, где .

По этой формуле получим:

.

Обозначим .

Этот определитель называется якобианом. Следовательно,

. (3)

Выражение в правой части называется элементом площади в криволинейных координатах.

Учитывая, что , из формулы (3) получим .

Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше . Следовательно, если D u ®0 и D v ®0, то .

Величина | I (u; v)| показывает, во сколько раз увеличивается или уменьшается элемент площади в окрестности точки (u; v) плоскости UOV при отображении её в окрестность соответствующей точки (x; y) плоскости XOY. Другими словами, абсолютная величина якобиана – это коэффициент растяжения области G в данной точке (u; v) при её отображении на область D.

Просуммировав теперь площади всех элементарных четырехугольников, из (3) получим

. (4)

Это равенство тем точнее, чем мельче разбиение области G (а, следовательно, и области D). Переходя к пределу при и , получим точное равенство. Сумма в правой части равенства (4) является интегральной суммой для двойного интеграла , из которой выброшены слагаемые, отвечающие участкам, не являющимся прямоугольниками. Но сумма площадей этих участков становится сколь угодно малой, если разбиение делать более мелким. Следовательно, переход к пределу в (4) даёт точную формулу

. (5)

Вычислим якобиан при переходе к полярным координатам:

.

Следовательно, площадь D при переходе к полярным координатам равна:

.

3. Замена переменной в двойном интеграле

Теорема. Пусть дан двойной интеграл , где функция f (x; y) непрерывна в замкнутой квадрируемой области D. Пусть система

(1)

задаёт взаимно однозначное отображение замкнутой квадрируемой области G плоскости UOV на замкнутую квадрируемую область D плоскости XOY. Предположим, что функции j и y непрерывны вместе со своими частными производными на G. Пусть так же | I (u; v)|¹0 на D. Тогда справедлива формула замены переменных

. (6)

Доказательство.

Так как функции f, j, y и частные производные функций j и y непрерывны, то существуют оба интеграла в формуле (6). Необходимо доказать это равенство.

По определению двойного интеграла

, (7)

( - диаметр разбиения), причём этот предел не зависит от способа разбиения области D на частичные области D_k и от выбора точек (x_k; y_k)Î D_k. Обозначим .

Разобьём область G на частичные области . Так как (1) взаимно однозначно отображает G на D, то область D разобьётся на частичные области . По формуле (5) площадь области D_k равна:

.

По теореме о среднем значении двойного интеграла на каждой частичной области найдется точка (u_k; v_k), такая, что

.

Обозначим образ т. (u_k; v_k) при взаимно однозначном отображении (1) через (x_k; y_k), то есть

Тогда сумма s в правой части равенства (7) равна

. (8)

Эта сумма является интегральной суммой для функции .

Если диаметры всех частичных областей G_k стремятся к нулю, то в силу непрерывности функций j и y диаметры частичных областей D_k тоже стремятся к нулю. Обозначим , . Если , то и . Переходя в (8) к пределу при , получим (6).

Замечание. Формула (6) справедлива и в том случае, если взаимно однозначное отображение (1) нарушается в отдельных точках или на отдельных кривых площади нуль.

4. Двойной интеграл в полярных координатах

Если преобразование стоит в переходе к полярным координатам, то формула (6) примет вид:

.

Переход к полярным координатам эффективен, если уравнение границы области интегрирования или подынтегральная функция содержит выражение x ²+ y ².

Если в состав подынтегральной функции или уравнения границы области входит сумма вида ax ²+ by ² (a >0, b >0), то используют «обобщённую» полярную систему координат:

,

тогда , а .

Пример 1. Вычислить , где D - часть круга x ²+ y ²= R ², лежащая в I четверти.

D Перейдём к полярным координатам

Область . Следовательно,

. D

Пример 2. Найти площадь фигуры Р, ограниченной параболами y = ax ², y=bx ² (0< a < b) и гиперболами xy=p, xy=q (0< p < q).

D Площадь фигуры , но непосредственно вычислить этот интеграл трудно. Поэтому следует выполнить замену переменных.

Рассмотрим 2 семейства кривых: парабол y = ux ² (или ) и гипербол xy=v. Чтобы каждое из них заполняло фигуру Р, достаточно взять какие u, v, которые удовлетворяют неравенствам a £ u £ b, p £ v £ q. Через каждую точку фигуры Р проходит только одна парабола и только одна гипербола. Следовательно, эти два семейства кривых образуют сетку координатных линий.

Так как задание этих двух кривых (то есть параметров u и v) однозначно определяет точку фигуры Р, то u и v можно принять за криволинейные координаты точек фигуры Р: (*)

Область Р перейдет в прямоугольник Q: a £ u £ b, p £ v £ q на плоскости uOv, т.к.

, ,

, .

Выразим из уравнений (*) x и y и найдем якобиан.

Û Û Û

Тогда по формуле (5)

. D

Дата добавления: 2015-07-07