Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Приложения двойного интеграла

Читайте также:
  1. Без предварительной заявки участие возможно только при условии двойного стартового взноса
  2. Время двойного оборота и распознавание коллизий
  3. Вычисление двойного интеграла
  4. Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием
  5. Вычисление площади круга с помощью определенного интеграла. Тригонометрическая подстановка
  6. Вычисление тройного интеграла
  7. Датчики двойного действия

1. Площадь поверхности

Пусть поверхность S задана явным уравнением

z=f(x;y), (1)

причём проекция поверхности S на плоскость XOY – квадрируемая область Р, а функция f(x;y) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка на Р. Тогда функция f(x;y) будет дифференцируемой на Р, а поверхность S в каждой точке M(x0;y0;z0) имеет касательную плоскость, уравнение которой

,

где x, y, z – текущие координаты касательной плоскости, а x0, y0, z0- координаты точки касания.

Задача. Найти площадь поверхности S.

Установим само понятие площади поверхности. Разобьём область Р на части . Построим на каждой из них, как на основании, цилиндрические столбики. Они разобьют поверхность на n частей: . В каждой части произвольно выберем точку , которой на частичной поверхности Si будет соответствовать точка , где . Построим в точке касательную плоскость Тi к поверхности S и нормаль к этой поверхности. Обозначим - острый угол между нормалью и осью Oz. Т.к. уравнение нормали к поверхности S в точке имеет вид

, то ,

следовательно, .

Каждый из цилиндрических столбиков вырежет на касательной плоскости Тi фигуру, которую также обозначим Тi. Если разбиение становится всё более мелким (l®0), то плоские фигуры Тi будут приближаться к соответствующим частям Si: . Тогда сумма площадей всех Тi: .

Под площадью данной поверхности S понимают предел последней суммы при

, - диаметр .

Покажем, что этот предел существует и выясним, чему он равен.

Угол равен углу между касательной плоскостью и плоскостью XOY. - ортогональная проекция частичной фигуры , следовательно, Þ . Тогда

.

Эта сумма является интегральной суммой для функции

.

Т.к - непрерывная функция, то она интегрируема, следовательно,

$ .

Тогда .

Пример. Вычислить площадь части параболоида, вырезанной цилиндром .

D Указанная поверхность симметрична относительно плоскостей XOZ и YOZ, т.е. состоит из четырёх одинаковых частей. Найдём площадь поверхности одной из них (например, лежащей в I октанте) и умножим на 4.

,

Р – область интегрирования: четверть круга с центром в т.(0,0) и радиусом 1 в плоскости XOY.

Из уравнения поверхности получаем: , .

.

Интеграл удобно вычислить в полярных координатах:

. D

2. Вычисление массы плоской фигуры

Пусть на плоской фигуре Р распределена масса m. Поверхностной плотностью массы в точке N фигуры Р называется предел

,

где D – произвольный участок фигуры Р содержащий точку N, его площадь также обозначим D, m(D) – его масса. Условие D®N означает, что участок D стягивается к точке N, то есть наибольшее расстояние от точки N до точек участка D стремится к нулю.

Если плотность распределена равномерно по фигуре, то r(х;у)=const .

Задача. Вычислить массу плоской фигуры Р, по которой непрерывным образом распределена масса m с поверхностной плотностью r(х;у), при этом r(х;у)- непрерывная функция.



Разобьём фигуру сетью кривых на n произвольных частей: Р1,Р2,…,Pn, площади которых тоже обозначим Р1,Р2,…,Pn, а m1,m2,…,mn - их массы. В каждой части Pi возьмем произвольно точку Ni(ui;vi) и вычислим в ней плотность r(ui;vi). Если разбиение достаточно мелко, то в силу непрерывности функция r(х;у) мало изменяется в области Pi. Следовательно, можно считать, что . Тогда .

Равенство тем точнее, чем мельче разбиение, и становится точным в пределе при где , li=diamPi.

Так как r(х;у)-непрерывная функция, то предел справа существует и равен . Следовательно,

m= .

 


Дата добавления: 2015-07-07; просмотров: 271 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Понятие двойного интеграла | Условия существования двойного интеграла | Основные свойства двойного интеграла | Вычисление двойного интеграла повторным интегрированием | Вычисление тройного интеграла |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Замена переменных в двойном интеграле| Определение тройного интеграла и условия его существования

mybiblioteka.su - 2015-2021 год. (0.051 сек.)