Визначення прискорення точки при натуральній формі рівнянь руху

Дотичною до кривої в точці М називають граничне положення січної , коли точка наближається до нерухомої точки М (рис. 14.2 а).

Стичною площиною кривої в точці М називають граничне положення площини, що проходить через дотичну до кривої в точці М і точку М ₁ кривої, коли точка наближається до точки М (рис. 14.2 б).

Головною нормаллю кривої в точці М називають пряму, що перетинає дотичну в точці М під прямим кутом і лежить у стичній площині (рис. 14.2 б).

Кривизну кривої на невеликій її частині вимірюють кутом повороту дотичної (кутом суміжності ), розрахованим на одиницю довжини дуги . Відношення називають середньою кривизною кривої на ділянці (рис. 14.3):

Кривизною кривої в даній її точці М називають межу, до якої наближається середня кривизна дуги за умови, що точка прямує до точки М:

(14.7)

Радіусом кривизни кривої в даній точці М називають величину, обернену до кривизни:

(14.8)

Нехай точка М рухається в просторі та М є її положенням у довільний момент t. Точка О – початок відліку дугової координати вздовж траєкторії (рис. 14.4). Швидкість точки можна записати так:

. (14.9)

Прискорення точки одержимо при диференціюванні формули (14.9) за часом t, вважаючи обидва співмножники ( і ) змінними:

(14.10)

де (14.11)

Формула (14.10) дає розкладання вектора на два компоненти за взаємно перпендикулярними напрямками дотичної та головної нормалі; вектор прискорення лежить у стичній площині. Величини і (їх визначення - див. формулу (14.11)) називають відповідно дотичним (або тангенціальним) і нормальним прискореннями точки.

Фізичний зміст дотичного та нормального прискорень такий: дотичне прискорення є прискоренням руху вздовж траєкторії та характеризує бистроту зміни швидкості за величиною, а нормальне прискорення характеризує бистроту зміни швидкості за напрямком.

Абсолютна величина вектора прискорення дорівнює:

(14.12)

Кут, який утворює вектор прискорення з напрямком головної нормалі, визначається за формулою:

. (14.13)

Розглянемо окремі випадки руху:

а) рівномірний рух точки по довільній кривій. У цьому випадку алгебраїчна величина швидкості не змінюється, а тому ; . Отже, при рівномірному русі по кривій прискорення точки направлено по головній нормалі в бік угнутості траєкторії;

б) рівномірний рух точки по колу. При рівномірному русі по колу прискорення точки направлено до центра кола і тому його називають доцентровим. Доцентрове прискорення дорівнює , де R – радіус кола;

в) рівномірний рух точки по прямій. У цьому випадку

тому що за умовою = const і (траєкторія точки -пряма).

Дата добавления: 2015-07-07