Натуральна форма рівнянь руху

Нехай АВ – відома траєкторія руху матеріальної точки (рис. 12.1). Вибираємо на траєкторії будь-яку фіксовану точку О за початок відліку дугової координати, один з напрямків від точки О вздовж траєкторії - за додатний напрямок. Положення рухомої точки М на траєкторії визначається дуговою координатою (віддаллю МО, виміряною вздовж дуги траєкторії та взятою з відповідним знаком).

Якщо точка М рухається по траєкторії, віддаль (дугова координата) змінюється з часом, тобто:

. (12.2)

Ця рівність називається натуральним рівнянням руху матеріальної точки. Величина S визначає віддаль (додатну або від'ємну) точки М від початку відліку, а не пройдений точкою шлях. Натуральне рівняння (12.2) визначає закон руху точки по траєкторії або закон віддалей. Натуральний метод вивчення руху точки застосовують у тих випадках, коли наперед відома траєкторія руху.

З диференціальної геометрії відомо, що елемент дуги траєкторії дорівнює:

де знак “плюс” береться у тому випадку, коли dS відповідає зміщенню точки у бік зростання S, а знак “мінус” – коли dS відповідає зміщенню точки у бік зменшення S.

Інтегруючи це рівняння в межах від до і від 0 до t, отримаємо закон руху матеріальної точки по траєкторії:

або

(12.3)

де - перші похідні від координат рухомої точки за часом.

Дата добавления: 2015-07-07